Software: FEM - Tutorial - 2D-Bauteil - Elastostatische FE-Simulation

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Elastostatische Finite-Elemente-Simulation (Prinzip)

Die Gleichung des gedämpften Einmassen-Schwingers mit einem Freiheitsgrad der Bewegung wird als bekannt voraus gesetzt:

m    Masse 
ü    Beschleunigung (a=dv/dt) 
c    Dämpfung 
ú    Geschwindigkeit (v=du/dt) 
k    Steifigkeit 
u    Verschiebung (Auslenkung) 
f(t) zeitlich veränderliche Kraft 

Die Terme der Gleichung beschreiben 3 Kraftwirkungen, deren Summe mit der Erregung (der Last) im Gleichgewicht steht:

F_m= m·ü  Trägheitskraft infolge Beschleunigung

F_c = c·ú   Dämpfungskraft infolge Geschwindigkeit

F_k = k·u   Rückstellkraft infolge Auslenkung

Die Finite-Elemente-Methode basiert in der Domäne der Mechanik auf dieser Bewegungsgleichung. Sie wird jedoch verallgemeinert zum allgemeinen Mehrmassenschwinger als Matrizen-Gleichung ausgeführt:

{M}    Massenmatrix 
{ü}    Beschleunigungsvektor 
{C}    Dämpfungsmatrix 
{ú}    Geschwindigkeitsvektor 
{K}    Steifigkeitsmatrix 
{u}    Verschiebungsvektor 
{F(t)} Kraftvektor (Lastvektor) 

Die Größe der Matrizen und Vektoren wird durch die Anzahl der Knoten des Netzes bestimmt. Dem Gleichungssystem entspricht die folgende Ersatzschaltung (Beispiel-Netz aus Dreieck-Elementen):

Jeder Knoten beschreibt einen Massepunkt:

• Aus der Massedichte der Materialien und der Geometrie der Elemente ist die Masse eines jedes Elementes bestimmbar.
• Diese Elementmasse wird so auf die Knoten des Elements verteilt, dass für jedes Element die Summe aller Knotenmassen gleich der Elementmasse ist und die Teilmassen den gleichen gemeinsamen Schwerpunkt besitzen wie das Element.
• Werden Knoten von mehreren Elementen benutzt (der Normalfall), so ergibt sich ihre Masse als Summe aller anteiligen Elementmassen.
• Jeder Knoten ist über Feder-Dämpfer mit allen seinen Nachbarn verbunden (Bei QUAD-Elementen verlaufen z.B. auch über die Viereck-Diagonalen Feder-Dämpfer).
• Kraftvektoren (Lastvektoren) greifen direkt an den einzelnen Knoten an und widerspiegeln den Einfluss der Netzumgebung (angedeutet mit F_K(t) an Knoten m_K).

1. Primär-Ergebnisse der FEM-Berechnung für jeden Knoten

• Vektorgrößen mit den max. 6 Freiheitsgraden der Bewegung

2. Sekundär-Ergebnisse der FEM-Berechnung

• Vektorgrößen der Haupt- und Vergleichsspannungen sowie der Lagerkräfte

3. Energieformen

• Potentielle und kinetische Energie (ermöglicht Oszillation)

4. Max. Anzahl der zeitlichen Ableitungen der Primär-Ergebnisse

• bis zur 2.Ableitung (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung)

Mit den vollständigen Gleichungen für die mechanische bzw. thermische Domäne ist eine Simulation der wechselwirkenden Zustandsänderung jedes Knoten im Zeitbereich möglich (=dynamischer Modellansatz). Aus Gründen des Berechnungsaufwandes begnügt man sich meist mit Stationärer (statischer) Berechnung, deren Vereinfachungen im Folgenden beschrieben werden:

• Modellansatz ohne Speicher-Elemente (Massen).
• Elemente, die nur bei zeitlichen Änderungen der Primär-Ergebnisse wirksam sind, werden nicht berücksichtigt (z.B. Dämpfer in der Mechanik).
• Die Last auf das Netz ist konstant.
• Berechnet wird der Endzustand (eingeschwungener Zustand) nach Aufbringen der Last (Stationärer Zustand).
• Die Ersatzschaltung reduziert sich für die Strukturmechanik auf ein Netz von Steifigkeiten. Zwischen dem Knoten mit der angedeuteten Krafteinleitung und dem eingespannten Knoten ergibt sich dabei eine Ersatzsteifigkeit. Dies gilt prinzipiell auch bei mehreren belasteten bzw. gelagerten Knoten:
  

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