Software: CAD - Tutorial - Optimierung - Probabilistik Visualisierung

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Visualisierung und Interpretation

Bei Sample-Verfahren kann man bereits während der Simulation den Verlauf des Experiments beobachten:

• Wie in der Realität wird nach dem Start der Simulation aus der gesamten Stichprobe ein Modell-Exemplar nach dem nächsten berechnet. Den durch die fünf Streuungen aufgespannten Suchraum kann man mittels Analyse > Cluster > 2D/3D Anthill Plot jeweils nur als 2D- bzw. 3D-Projektion darstellen. Im Beispiel werden der 3D-Plot für die Maß-Streuungen und der 2D-Plot für die Material- und Umgebungsstreuungen genutzt. Nach dem Start der Simulation erscheinen darin die einzelnen Exemplare der Stichprobe jeweils als ein Punkt:
  
• Zusätzlich bilden wir in Histogrammen alle streuenden Parameter und alle berechneten Bewertungsgrößen ab (Analyse > Statistische Versuchsplanung > Histogramme mit anschließendem Drag&Drop der darzustellenden Größen). Die generierten Histogramme werden nach jedem einzelnen Simulationslauf aktualisiert. Die Ergebnisse der Stichproben-Simulation werden umso genauer, je weiter man innerhalb der Stichprobe voranschreitet:

• In den sich parallel dazu füllemden Histogrammen der Restriktionsgrößen sind unzulässige Wertebereiche farbig markiert (Ausschuss):

Unmittelbar nach der Berechnung der "realen" Stichprobe werden die Ersatzmodelle der Ergebnisgrößen (hier nur Restriktionen) auf Basis der gewählten Approximationsfunktionen berechnet. Mit diesen Ersatzmodellen erfolgt dann die Simulation der "virtuellen" Stichprobe. Die Ergebnisse der anschließenden Probabilistik-Berechnung können als Analyse-Ergebnisse dargestellt werden:

• Wir öffnen die zu obigen Histogramm-Größen gehörenden Verteilungsdichte-Darstellungen ( Analyse > Probabilistik > Verteilungsdichte ). Diese werden aus der "riesigen" virtuellen Stichprobe berechnet, so dass z.B. die Eingangsstreuungen sehr genau den definierten Normalverteilungen entsprechen. Die im Beispiel noch vorhandenen Unstetigkeiten würden bei einer Vergrößerung des virtuellen Stichprobenumfangs um den Faktor 10 weitestgehend eliminiert:

• Die Teilversagenswahrscheinlichkeiten für unzulässige Federkonstanten liegt im Beispiel bei 28,7%. Die Teilversagenswahrscheinlichkeit wegen Überschreitung der zulässigen Maximalkraft liegt sogar bei 54,3%.
• Die Gesamtversagenswahrscheinlichkeit beträgt Versagen=69,4%. Diesen Wert findet man z.B. auch unter Analyse > Nennwert-Optimierung > Nennwert-Tabelle:

• Die Genauigkeit der Ergebnisstreuungen hängt praktisch nur von der Genauigkeit des Ersatzmodells ab. Deshalb werden wir dieses Ersatzmodell analysieren und bei Bedarf noch verbessern.
• Die für die drei Restriktionsgrößen approximierten Polynome 2.Ordnung sind Funktionen von jeweils fünf Variablen (den fünf Streugrößen). Eine direkte Visualisierung ist damit kaum möglich (weil 6-dimensional!). 2D-Schnittdiagramme vermitteln jedoch einen guten Eindruck, wie jede Ausgangsgröße von den einzelnen Eingangsgrößen abhängt (Analyse > Antwortflächen > Schnittdiagramm plus Drag&Drop). Wie genau die einzelnen Polynom-Funktionen in die Stützstellen der realen Stichprobe eingefügt werden konnten, erkennt man anhand der zugehörigen Residuen-Plots (Analyse > Antwortflächen > Residuum-Plot plus Drag&Drop).

• Für jede Ersatzfunktion wird für jedes Exemplar der realen Stichprobe das Residuum angezeigt. Entscheidend für die Genauigkeit ist nicht der absolute Wert eines Residuum, sondern der relative Fehler, welcher daraus resultiert. Dieser relative Fehler setzt sich aus zwei Komponenten zusammen:
  1. relativer Fehler zum Absolutwert der Stützstelle und
  2. relativer Fehler bezogen auf die Differenz zwischen minimalem und maximalem Stützstellenwert innerhalb der Stichprobe.
• Die Verläufe der angezeigten Schnittdiagramme gelten nur für den aktuellen Wert ("Arbeitspunkt"), welcher in Form der virtuellen Nennwerte für die Streugrößen eingestellt ist.
• In den Eigenschaften des Schnittdiagramms kann man die Anzeige des aktuellen Wertes in Form senkrechter Linien aktivieren:
  
• Mittels des Cursors kann man dann an diesen senkrechten Linien die Koordinaten des Arbeitspunktes auf dem Ersatzmodell innerhalb des Streubereiches verstellen.
• Eine exakte Verstellung ist nur durch manuelles Ändern der virtuellen Nennwerte in den Eigenschaften der Streuungen möglich.
• Hinweis: Die virtuellen Nennwerte sollte man nach eventuellem undefinierten Verstellen wieder auf die Nennwerte der zu untersuchenden optimierten Lösung setzen.

Für unser Beispiel der Biegefeder sind die Zusammenhänge zwischen den Streuungen und den daraus resultierenden Ergebnisgrößen überschaubar:

• Die Federkonstante hängt von der 3. Potenz der Dicke des Querschnitts ab und ist reziprok zur 3. Potenz der Federlänge:
  
• Die max. zulässige Kraft hängt von der 2. Potenz der Dicke ab und ist reziprok zur Federlänge:
  
• Die Resonanzfrequenz hängt linear von der Dicke ab und ist reziprok zur 2. Potenz der Federlänge:
  

Die Polynomordnung der Ersatzfunktionen sollte nicht unnötig groß gewählt werden, weil dies real nicht vorhandenen Welligkeiten zwischen den berechneten Stützstellen führt:

1. c_Feder: Erhöhung der Polynomordnung auf 3
2. F_Max: Polynomordnung 2 ist ausreichend
3. f1: Polynomordnung 2 für Krümmungen in Folge des reziproken Anteils

Hinweis:
Vereinfachend verwenden wir als Polynom-Typ eine "Einheitliche Ordnung" für alle fünf Freiheitsgrade der Ersatzfunktionen. Es besteht z.B. die Möglichkeit, den Einfluss jeder Streugröße durch eine individuelle Polynom-Ordnung zu beschreiben.

Wichtig:

• Eine erneute Berechnung der realen Stichprobe ist nicht erforderlich!
• Unter Nutzung der vorhandenen Stützstellen werden zuerst die Antwortflächen erneut berechnet. Danach sollten sich im Beispiel die Maximalwerte der Residuen etwas verringern. D.h., die vorhandenen Stützstellen passen jetzt besser zum Ersatzmodell.
• Abschließend muss man noch die Sensitivitäten und die Probabilistik neu berechnen.

Von den Ersatzmodellen ändert sich im Beispiel nur das für c_Feder geringfügig, was sich in kleineren Residuen widerspiegelt:

• Innerhalb des kleinen Streubereiches sind die Zusammenhänge zwischen Ergebnisgrößen und Input-Streuungen fast linear.
• Die angezeigten nichtlinearen Zusammenhänge in einzelnen Diagrammen resultieren aus der Interpretation von "Rauschen", weil sich die Ergebnisgrößen innerhalb des Streubereiches praktisch nicht ändern. D.h., es existiert in diesen Fällen keine Abhängigkeit zwischen Streugröße und Ergebnisgröße!

Hinweis:
Sind die Zusammenhänge in einem Modell nicht überschaubar, muss man schrittweise die Polynomordnungen der Ersatzfunktionen erhöhen, bis die Residuen ein Minimum erreichen. Dabei dürfen jedoch noch keine unzulässigen Welligkeiten in den Schnittdiagrammen sichtbar werden!

Sensitivitäten:

• Aus der Streuung der Abmessungen, des Materials und der Temperatur resultieren im Beispiel bezogen auf den jeweiligen Mittelwert für die drei Restriktionsgrößen ungefähr folgende prozentuale Schwankungen innerhalb des ±3σ-Bereiches:
  1. c_Feder: ±30%
  2. F_Max: ±20%
  3. f1: ±10%
• Grundlage für diese Abschätzung sind die Verteilungsdichte-Funktionen der Restriktionsgrößen, welche mit der virtuellen Stichprobe berechnet wurden:
  • Die Streuung der zulässigen Maximalkraft um den Wert 1 N führt zwar formell für die Hälfte der Lösungen zum Versagen. Dieses Versagen wird sich in der Praxis aber nicht sofort bemerkbar machen, sondern bewirkt wahrscheinlich nur einen vorzeitigen Alterungsbruch.
  • Die Streuung der Resonanzfrequenz ist gering und kann durchaus vernachlässigt werden, weil nur ein möglichst hoher Wert erwünscht ist.
  • Die geforderte Genauigkeit der Federkonstante von ±10% wird nicht eingehalten.

Wir werden nun untersuchen, wie stark der Einfluss der einzelnen Streuungen auf die Streuung der Federkonstante ist:

• Sensitivitäts Charts sind Balkendiagramme, welche anzeigen, in welchem Maße ein bestimmtes Ergebnis (Effekt) durch eine bestimmte Ursache (Streuung) hervorgerufen wurde (Analyse > Sensitivität > Sensitivitäts Chart plus Drag&Drop):

Erläuterung:

• Haupteffekt - repräsentiert den direkten Einfluss der betrachteten Streugröße X_i auf die Ausgangsgröße Y.
• Totaleffekt - enthält zusätzlich noch den indirekten Einfluss aller anderen Streugrößen auf die Wirkung von X_i auf die Ausgangsgröße Y (Interaktionen)
• Sind Haupt- und Totaleffekt wertmäßig näherungsweise gleich (wie in unserem Beispiel), so existieren keine Interaktionen zwischen den Streuungen.

Erkenntnisse:

• Betrachtet man die uns interessierende Federkonstante, so hängt deren Streuung fast nur (zu ca. 97%) von der Genauigkeit der Feder-Dicke ab.
• Die Wirkung des E-Moduls auf die Federkonstante beträgt nur ca. 3%. Dies ist günstig, weil man bei der Fertigung kaum Einfluss auf den E-Modul des gewählten Materials hat.
• Der Einfluss der Feder-Breite und -Länge, sowie der Temperatur geht für alle drei Restriktionsgrößen gegen Null! Bei sich anschließenden, zeitaufwändigen Toleranzoptimierungen könnte man durch Weglassen solcher Streuungen eine Reduktion des Toleranz-Modells vornehmen, ohne wesentlich an Genauigkeit zu verlieren. Wir behalten alle fünf Streuungen im Folgenden bei, da wir für die Optimierung die bereits erstellten schnellen Ersatzmodelle nutzen.

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