Software: SimX - Nadelantrieb - Probabilistik - Second-Order
Im Prinzip stehen bei der Nutzung der Moment-Methode die gleichen Analyse-Werkzeuge zur Verfügung, wie bei den Sample-Verfahren. Nur im Detail existieren Unterschiede in Hinblick auf die Verfügbarkeit und Genauigkeit einzelner statistischer Kenngrößen.
Versuchsplanung
Wir nutzen die Moment-Methode mit einer Taylorreihe 2. Ordnung als Approximationsfunktion und Berücksichtigung von Interaktionen zwischen den Streugrößen:
- Aus unseren Erfahrungen mit der Sampling-Methode wissen wir bereits, dass die Zusammenhänge zwischen den Streu- und Ausgangsgrößen nicht nur linear sind. Das konnte man z.B. in den Schnittdiagrammen erkennen:
- Nutzt man die Moment-Methode ohne derartiges Vorwissen, so sollte man trotz des höheren Berechnungsaufwandes grundsätzlich mit "Second Order" beginnen. Erst nach Auswertung der dabei entstehenden Schnittdiagramme kann man sich für die lineare Ersatzfunktion "First Order" mit entsprechend geringerem Berechnungsaufwand entscheiden.
- Aus dem Experiment mit der Sample-Methode wissen wir, dass gewisse Interaktionen zwischen den Streugrößen existieren. Unabhängig von diesem Vorwissen sollte man erst einmal eventuelle Interaktionen bei der Bildung der Ersatzfunktionen berücksichtigen.
Hinweis:
- Bei der Sample-Methode konnten für die Approximationsfunktion Polynom-Funktionen beliebiger Ordnung gewählt werden. Damit kann man auch Abhängigkeiten höherer Ordnung zwischen Streu- und Ausgangsgrößen abbilden.
- Bei der Moment-Methode können höchsten Taylorreihen 2. Ordnung als Approximationsfunktion benutzt werden. Über Taylorreihen höherer Ordnung lassen sich die Verteilungen der Ausgangsgrößen durch die statistischen Momente mathematisch nicht mehr genau approximieren, weil sie (die Verteilungen) auch die Momente höherer Ordnungen enthalten müssten.
- Ob Taylorreihen 2. Ordnung die tatsächlichen Zusammenhänge zwischen Streu- und Ausgangsgrößen hinreichend widerspiegeln, kann man nur im Vergleich mit Ersatzfunktionen höherer Ordnung erkennen:
- Dazu wurde im Beispiel die Sample-Methode mit der Approximationsordnung 3 genutzt.
- Merkliche Abweichungen erkennt man bei der Temperatur-Abhängigkeit von Abschaltspannung und Maximalstrom. Das konnte man auf Grund der starken Nichtlinearitäten des Magnetantriebs erwarten. Die Größenordnung der Abhängigkeiten wird jedoch auch mit dem Ansatz 2. Ordnung abgebildet.
Visualisierung und Interpretation
Bei der Nutzung der Moment-Methode werden sämtliche Ergebnisse erst nach Abschluss der probabilistischen Simulation dargestellt. Auch stehen Histogramme und Korrelationen für diese Methode nicht zur Verfügung:
Man sollte vor dem Start der Simulation Fenster für die Darstellung von Verteilungsdichten öffnen:
Relative Toleranzen
Hier erhält man die gewählten "perfekten" Verteilungsdichtefunktionen der Streugrößen angezeigt:
Absolute Toleranz-Größen
Die Verteilungsdichten der Ausgangsgrößen des Simulationsmodells werden auf Grundlage der approximierten Taylorreihen 2. Ordnung und der darüber transformierten statistischen Momente berechnet.
- Die Fläche unter einer Verteilungsdichtefunktion besitzt immer den Wert 1:
- Die obigen Verteilungsdichtefunktionen sind die Ableitung der zugehörigen Verteilungsfunktionen nach ihrer Streugröße:
Man kann die Werte der Verteilungsdichtefunktionen nicht direkt mit den Y-Werten der zugehörigen Histogramme vergleichen, welche mittels Sample-Methode gewonnen wurden:
- Bei den Histogrammen kann man an der Y-Achse ablesen, wie groß die relative Häufigkeit (0..1) innerhalb eines Rechteck-Balkens ist.
- Diese Werte sind abhängig von der gewählten Balkenzahl.
- Achtung: Die statistischen Momente beider Diagramm-Typen kann man direkt miteinander vergleichen:
- Man erkennt, dass die nach beiden Methoden berechneten statistischen Momente sehr gut übereinstimmen.
Restriktionsgrößen
Bei den Restriktionsgrößen interessiert vor allem, in welchem Maße infolge der Streuungen unzulässige Werte auftreten:
- Im Beispiel wurden bei der Nennwert-Optimierung die maximale Abschaltspannung und der Maximalstrom ausgereizt. Das äußert sich in einer Teilversagenswahrscheinlichkeit von ca. 50% für beide Restriktionsgrößen.
- Der Grenzwert von 50 K für die Drahterwärmung wird durch den Streubereich fast erreicht.
- Hinweis: Leider kann man anhand der dargestellten Grenzwerte nur näherungsweise die tatsächlichen Grenzen der Streubereiche abschätzen. OptiY schneidet Werte der Dichtefunktion ab, die kleiner als 1/100 ihres Maximalwertes sind.
Dazu im Vergleich die Simulationsergebnisse des Latin-Hypercube-Sampling:
- Qualitativ und in Hinblick auf die Teilversagenswahrscheinlichkeiten stimmen die Ergebnisse recht gut überein.
- Größere Abweichungen existieren wieder bei den Standardabweichungen. Dies widerspiegelt sich insbesondere in den Verteilungsdichten an den Grenzen der Streubereiche. So wird für dT_Draht die Teilversagenswahrscheinlichkeit dadurch minimal größer als Null.
Versagenswahrscheinlichkeit
Die Teilversagenswahrscheinlichkeiten der einzelnen Restriktionen Fi können mit der Moment-Methode sehr genau berechnet werden, weil die Verteilungsdichten der Restriktionen bekannt sind. Aber die gesamte Systemversagenswahrscheinlichkeit F kann man damit nicht analytisch ermitteln:
- Es wird eine Hilfsgröße F berechnet, die sich aus den Teilversagenswahrscheinlichkeiten Fi mit den Gewichtsfaktoren wi der einzelnen Restriktionen summiert:
- Diese Hilfsgröße F wird als Maß für das Versagen im OptiY-Explorer als Bestandteil der Gütekriterien aufgelistet. Den Wert kann man sich z.B. in einem "Nenwwert-Verlauf"-Fenster anzeigen lassen:
- Bei einem Versagen > 1 wird spätestens klar, dass dieser Wert F nur ein "Maß" für die Gesamtversagenswahrscheinlichkeit ist:
- Damit erhält man für die Minimierung der Versagenswahrscheinlichkeit mittels numerischer Optimierung ein stetiges und eindeutiges Maß für die vergleichende Bewertung von Lösungen.
- "Versagen=0" als Zielstellung einer Ausschuss-Minimierung bedeutend dann im Rahmen der Modellgenauigkeit "kein Ausschuss".
- Die Gewichtsfaktoren wi der Restriktionen lassen wir vorläufig unverändert auf dem Wert=1.
Sensitivitäten
Die Korrelationskoeffizienten stehen bei der Moment-Methode nicht als Ergebniswerte zur Verfügung. Auf Grundlage der Sensitivitäten kann man jedoch viel besser die Auswirkung der einzelnen Streuungen auf das Modellverhalten abschätzen.
Lokale Sensitivität
Auch für die Moment-Methode werden die lokalen Sensitivitäten als RSM-Schnittdiagramm bereitgestellt (Analyse - RSM - Schnittdiagramm):
- Die Antwortfläche wird in diesem Falle durch die approximierten Taylorreihen 2. Ordnung gebildet.
- Der Unterschied zur Sample-Methode ist die Gewinnung dieser Ersatzfunktion durch systematische Abtastung des Modells an einer minimalen Anzahl von Stützstellen.
- Hinweis: Anhand der Krümmungen der Schnittfunktionen kann man schlussfolgern, dass die Wahl einer linearen Ersatzfunktion (First Order) wahrscheinlich eine unzulässige Vereinfachung darstellen würde.
Globale Sensitivitäten
Den Sensitivität-Charts kann man, wie vom Sampling-Experiment bereits bekannt, zwei wesentliche Informationen entnehmen:
- Welche Streuungen haben einen vernachlässigbaren Einfluss auf die betrachteten Bewertungsgrößen?
- Existieren merkliche Interaktionen zwischen den Streuungen?
Sind Haupt- und Totaleffekt wertmäßig praktisch gleich, so kann man die Interaktionen zwischen den Streugrößen vernachlässigen:
- Damit entfallen die Modellberechnungen für die Gewinnung der Interaktionsinformationen.
- Für 5 Streugrößen reduziert sich damit der Berechnungsaufwand von 2n²+1=51 auf 2n+1=11 auf fast ein Fünftel!
- Nach erneuter Simulation werden in den Sensivität-Charts nur die Haupteffekte angezeigt:
- Die übrigen Ergebnisse bleiben unverändert, da die nicht berücksichtigten Interaktionen praktisch keine Rolle spielten!
Kann man nach gründlicher Analyse der globalen Sensivitäten z.B. noch 2 Streuungen vernachlässigen und aus dem Experiment-Workflow entfernen, so ergibt das eine weitere Verringerung des Berechnungsaufwandes auf 2n+1=7:
- Insbesondere in Vorbereitung einer geplanten probabilistischen Optimierung ist eine tiefgründige Analyse der Modelleigenschaften unbedingt erforderlich.
- Ausgehend von genaueren, aber auch zeitaufwändigeren Simulationen sollte man die "Stichproben-Simulation" soweit es geht "abrüsten", ohne dabei wesentlich an Genauigkeit einzubüßen.
Experiment-Ergebnisse
Gewinnen Sie aus den durchgeführten Experimenten folgende Informationen:
- Tabellarische Gegenüberstellung der Sensitivitäten für die 4 Paare "Streuung/Ausgangsgröße" aus dem Sample-Experiment mit den Ergebnissen der Moment-Methode.
- In welchem Maße ändern sich die statistischen Momente und Versagenswahrscheinlichkeiten der relevanten Bewertungsgrößen, wenn Sie die zwei Streuungen mit dem geringsten Effekt bei der probabilistischen Simulation vernachlässigen? (Hinweis: Setzen Sie die Toleranz der zu vernachlässigenden Streuungen auf einen sehr kleinen Wert, z.B. 0.001)
- Wie groß ist Gesamtversagenswahrscheinlichkeit Ihres Nennwert-optimierten Antriebs? (Hinweis: Nur der mit der Sample-Methode ermittelte Wert von Versagen entspricht der Gesamtversagenswahrscheinlichkeit!)
Senden Sie diese Ergebnisse als Bestandteil der Lösung.
