Software: SimX - Nadelantrieb - Probabilistik - Second-Order

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Second Order (Experimente)

Im Prinzip stehen bei der Nutzung der Moment-Methode die gleichen Analyse-Werkzeuge zur Verfügung, wie bei den Sample-Verfahren. Nur im Detail existieren Unterschiede in Hinblick auf die Verfügbarkeit und Genauigkeit einzelner statistischer Kenngrößen.

Versuchsplanung

Wir nutzen die Moment-Methode mit einer Taylorreihe 2. Ordnung zur Approximation und berücksichtigen Interaktionen zwischen den Streugrößen:

• Ob Taylorreihen 2. Ordnung die tatsächlichen Zusammenhänge zwischen Streu- und Ausgangsgrößen hinreichend widerspiegeln, kann man nur im Vergleich mit Ersatzfunktionen höherer Ordnung erkennen.
• Aus unseren Erfahrungen mit der Sampling-Methode wissen wir bereits, dass die Zusammenhänge zwischen den Streu- und Ausgangsgrößen teilweise nichtlinear sind. Das konnte man in den Schnittdiagrammen des Gauß-Prozesses deutlich erkennen:

• Bei der Moment-Methode können höchsten Taylorreihen 2. Ordnung als Approximationsfunktion benutzt werden. Über Taylorreihen höherer Ordnung lassen sich die Verteilungen der Ausgangsgrößen durch die statistischen Momente mathematisch nicht mehr genau approximieren, weil sie (die Verteilungen) auch die Momente höherer Ordnungen enthalten müssten.

Visualisierung und Interpretation

• Die reale "Stichprobe" beschränkt sich bei der Moment-Methode auf das kombinatorische Abtasten der Toleranzgrenzen bzw. der Toleranzmitten aller Streugrößen. Eine komplette Übersicht über alle diese Modellberechnungen erhält man in "Echtzeit" mittels der DOE-Tabelle:
  
• Windows-Bug:
  Erfolgen die Simulationsrechnungen sehr schnell, so kann es insbesondere unter Windows 8 zu OptiY-Programmabstürzen bei der nach jedem Simulationslauf erforderlichen Aktualisierung der DOE-Tabelle kommen (Beachte den Workaround)
• Wichtig:
  1. Die Taylorreihen (als Ersatzfunktionen) der Moment-Methode und damit die Probabilistik können nur berechnet werden, wenn alle Stützstellen erfolgreich simuliert wurden (Status=Ok). Bei den Sample-Methoden werden "erfolglose" Simulationen ignoriert und verringern nur die Größe der nutzbaren Stichprobe.
  2. Die Diode als numerisch kritisches Modell-Element kann hier zu Problemen führen (wenn sie noch nicht entfernt wurde), indem einzelne Simulationsläufe mit "Status=Failed" enden.
  3. Bekommt man dieses Problem bei noch vorhandener Diode nicht durch eine verbesserte Konfiguration der numerischen Intergration in den Griff, muss man die Diode aus dem Modell entfernen (durch direkte Verbindung ersetzen!). Es entsteht dadurch ein geringer (vernachlässigbarer) Parallelstrom zur Spule im eingeschalteten Zustand .
• Untermengen aus der DOE-Tabelle kann man (ebenfalls in Echtzeit) in Anthil-Plots darstellen, z.B.:
  
• Bei der Nutzung der Moment-Methode stehen Histogramme und Korrelationen nicht zur Verfügung (im Analyse-Menü inaktiv).
• Die Verteilungsdichten der Ergebnisgrößen des Simulationsmodells werden auf Grundlage der approximierten Taylorreihen 2. Ordnung und der darüber transformierten statistischen Momente nur für die Restriktionen/Gütekriterien des Workflows berechnet.
• Für die "Hilfsgrößen" im Workflow (Ausgangsgrößen und Transfervariablen) werden keine Ersatzfunktionen approximiert. Deshalb erfolgt für diese Hilfsgrößen auch keine Probabilistik-Berechnung. In unserem Beispiel konnten wir mittels der zuvor angewandten Sample-Methode die Histogramme von Ausgangsgrößen bereits zur Verifizierung des Toleranz-Modells nutzen.

Streuungen

• Hier erhält man die gewählten "perfekten" Verteilungsdichtefunktionen der Streugrößen angezeigt:
  
• Die Fläche unter einer Verteilungsdichtefunktion besitzt immer den Wert 1.
• Die Verteilungsdichtefunktionen sind die Ableitungen der zugehörigen Verteilungsfunktionen nach ihrer Streugröße:
  
• Das erkennt man noch deutlicher am Beispiel der Gleichverteilten Spulentemperatur:
  

Man kann die Werte der Verteilungsdichtefunktionen nicht direkt mit den Y-Werten der zugehörigen Histogramme vergleichen, welche mittels Sample-Methode gewonnen wurden:

• Bei den Histogrammen kann man an der Y-Achse ablesen, wie groß die relative Häufigkeit (0..1) innerhalb eines Rechteck-Balkens ist. Diese Werte sind abhängig von der gewählten Balkenzahl.
• Achtung: Die statistischen Momente beider Diagramm-Typen kann man direkt miteinander vergleichen. Da für die Moment-Methode keine Histogramme existieren, werden im Folgenden die mit Sample-Methode gewonnenen Histogramme abgebildet:
  
• Man erkennt, dass die nach beiden Methoden berechneten statistischen Momente gut übereinstimmen.

Restriktionsgrößen

Bei den Restriktionsgrößen interessiert vor allem, in welchem Maße infolge der Streuungen unzulässige Werte auftreten:

• Im Beispiel wurden bei der Nennwert-Optimierung die maximale Abschaltspannung und der Maximalstrom ausgereizt. Das äußert sich in einer Teilversagenswahrscheinlichkeit von mehr als 50% für beide Restriktionsgrößen.
• Der Grenzwert von 40 K für die Drahterwärmung wird praktisch nicht überschritten.
• Hinweis: Leider kann man anhand der dargestellten Grenzwerte nur näherungsweise die tatsächlichen Grenzen der Streubereiche abschätzen. OptiY schneidet Werte der Dichtefunktion ab, die kleiner als 1/100 ihres Maximalwertes sind.

Dazu im Vergleich die Simulationsergebnisse des Latin-Hypercube-Sampling:

• Qualitativ und in Hinblick auf die Teilversagenswahrscheinlichkeiten stimmen die Ergebnisse recht gut überein.
• Im Unterschied zur Sampling-Methode wird bei der Momenten-Methode nicht die Gesamtversagenswahrscheinlichkeit in die Legende der Diagramme eingeblendet.

Versagenswahrscheinlichkeit

Die Teilversagenswahrscheinlichkeiten der einzelnen Restriktionen F_i können mit der Moment-Methode sehr genau berechnet werden, weil die Verteilungsdichten der Restriktionen bekannt sind. Aber die gesamte Systemversagenswahrscheinlichkeit F kann man damit nicht analytisch ermitteln:

• Es wird eine Hilfsgröße F berechnet, die sich aus den Teilversagenswahrscheinlichkeiten F_i mit den Gewichtsfaktoren w_i der einzelnen Restriktionen summiert:
  

• Diese Hilfsgröße F wird als Maß für das Versagen im OptiY-Explorer als Bestandteil der Gütekriterien aufgelistet. Den Wert kann man sich z.B. in einem "Nennwert-Verlauf"-Fenster anzeigen lassen:
  
• Bei einem Versagen > 1 wird spätestens klar, dass dieser Wert F nur ein "Maß" für die Gesamtversagenswahrscheinlichkeit ist:
  • Damit erhält man für die Minimierung der Versagenswahrscheinlichkeit mittels numerischer Optimierung ein stetiges und eindeutiges Maß für die vergleichende Bewertung von Lösungen.
  • "Versagen=0" als Zielstellung einer Ausschuss-Minimierung bedeutend dann im Rahmen der Modellgenauigkeit "kein Ausschuss".
  • Die Gewichtsfaktoren w_i der Restriktionen lassen wir vorläufig unverändert auf dem Wert=1.

Sensitivitäten

Die Korrelationskoeffizienten stehen bei der Moment-Methode nicht als Ergebniswerte zur Verfügung. Auf Grundlage der Sensitivitäten kann man jedoch viel besser die Auswirkung der einzelnen Streuungen auf das Modellverhalten abschätzen.

Lokale Sensitivität

Auch für die Moment-Methode werden die lokalen Sensitivitäten als Schnittdiagramm bereitgestellt (Analyse > Antwortflächen > Schnittdiagramm):

• Die Antwortflächen werden in diesem Falle durch die approximierten Taylorreihen 2. Ordnung gebildet.
• Der Unterschied zur Sample-Methode ist die Gewinnung dieser Ersatzfunktion durch systematische Abtastung des Modells an einer minimalen Anzahl definierter Stützstellen:
  
• Hinweis: Anhand der Krümmungen der Schnittfunktionen kann man schlussfolgern, dass die Wahl einer linearen Ersatzfunktion (First Order) wahrscheinlich eine unzulässige Vereinfachung darstellen würde.

Globale Sensitivitäten

Den Sensitivität-Charts kann man, wie vom Sampling-Experiment bereits bekannt, zwei wesentliche Informationen entnehmen:

1. Welche Streuungen haben einen vernachlässigbaren Einfluss auf die betrachteten Bewertungsgrößen?
2. Existieren merkliche Interaktionen zwischen den Streuungen?

Sind Haupt- und Totaleffekt wertmäßig ungefähr gleich, so kann man die Interaktionen zwischen den Streugrößen vernachlässigen:

• Damit entfallen die Modellberechnungen für die Gewinnung der Interaktionsinformationen.
• Für 5 Streugrößen reduziert sich damit der Berechnungsaufwand von 2n²+1=51 auf 2n+1=11 auf fast ein Fünftel!

Im Beispiel weichen die Werte für einige Haupt- und Totaleffekte insbesondere für den Maximalstrom und die Erwärmung merklich voneinander ab. Ob man dabei noch von "ungefähr gleich" sprechen kann, ist schwer zu entscheiden, solange man die Auswirkungen auf die Genauigkeit der probabilistischen Simulation nicht kennt:

• Man sollte in diesem Fall die Ergebnisse der probabilistischen Simulation mit und ohne Berücksichtigung der Interaktionen vergleichen.
• Nach erneuter Simulation (Interaktion=false) werden in den Sensitivitäts-Charts nur die Haupteffekte angezeigt (Hinweis: Infolge eines OptiY-Darstellfehlers fehlt jeweils der kleinste Effekt):
  

Kann man nach gründlicher Analyse der globalen Sensitivitäten z.B. noch 2 Streuungen vernachlässigen und aus dem Experiment-Workflow entfernen, so ergibt das eine weitere Verringerung des Berechnungsaufwandes auf 2n+1=7:

• Insbesondere in Vorbereitung einer geplanten probabilistischen Optimierung ist eine tiefgründige Analyse der Modelleigenschaften unbedingt erforderlich.
• Ausgehend von genaueren, aber auch zeitaufwändigeren Simulationen sollte man die "Stichproben-Simulation" soweit es geht "abrüsten", ohne dabei wesentlich an Genauigkeit einzubüßen.

Experiment-Ergebnisse

Wir gewinnen aus den mit der Moment-Methode durchgeführten Experimenten folgende Informationen:

• Welche drei streuungsbehafteten Parameter besitzen den größten Einfluss auf das Verhalten des Prägenadel-Antriebs?
• Um wieviel Prozent ändern sich Standard-Abweichungen und Mittelwerte sowie die Versagenswahrscheinlichkeiten der relevanten Bewertungsgrößen (Restriktionen), wenn man die zwei Streuungen mit dem geringsten Effekt bei der probabilistischen Simulation vernachlässigt?
• Hinweis: Wir setzen dazu in zusätzlichen Experimenten die Toleranz der zu vernachlässigenden Streuungen auf einen sehr kleinen Wert, z.B. 0.001:
  1. unter Berücksichtigung von Interaktionen
  2. bei Vernachlässigung von Interaktionen
• Wie groß ist Gesamtversagenswahrscheinlichkeit (in %) des Nennwert-optimierten Antriebs unter Berücksichtigung der Ergebnisse aus der Sample-Methode?

Diese Ergebnisse und alle konfigurierten Experimente sind als Bestandteil der Lösung einzusenden.

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