Software: SimX - Nadelantrieb - Probabilistik - Second-Order
---> unfertig: Siehe Stand 2007
---> in der Lehrveranstaltung noch nicht bearbeiten!
Im Prinzip stehen bei der Nutzung der Moment-Methode die gleichen Analyse-Werkzeuge zur Verfügung, wie bei den Sample-Verfahren. Nur im Detail existieren Unterschiede in Hinblick auf die Verfügbarkeit und Genauigkeit einzelner statistischer Kenngrößen.
Versuchsplanung
Wir nutzen die Moment-Methode mit einer Taylorreihe 2. Ordnung als Approximationsfunktion und Berücksichtigung von Interaktionen zwischen den Streugrößen:
- Aus unseren Erfahrungen mit der Sampling-Methode wissen wir bereits, dass die Zusammenhänge zwischen den Streu- und Ausgangsgrößen nicht nur linear sind. Das konnte man z.B. in den Schnittdiagrammen erkennen:
- Nutzt man die Moment-Methode ohne derartiges Vorwissen, so sollte man trotz des höheren Berechnungsaufwandes grundsätzlich mit "Second Order" beginnen. Erst nach Auswertung der dabei entstehenden Schnittdiagramme kann man sich für die lineare Ersatzfunktion "First Order" mit entsprechend geringerem Berechnungsaufwand entscheiden.
- Aus dem Experiment mit der Sample-Methode wissen wir zwar schon, dass keine wesentlichen Interaktionen zwischen den Streugrößen existieren. Wir berücksichtigen aber trotzdem erst einmal eventuelle Interaktionen bei der Bildung der Ersatzfunktionen, um die entsprechenden Analysemöglichkeiten näher zu betrachten.
Hinweis:
- Bei der Sample-Methode konnten für die Approximationsfunktion Taylorreihen beliebiger Ordnung gewählt werden. Damit kann man auch Abhängigkeiten höherer Ordnung zwischen Streu- und Ausgangsgrößen abbilden.
- Bei der Moment-Methode können höchsten Taylorreihen 2. Ordnung als Approximationsfunktion benutzt werden. Über Taylorreihen höherer Ordnung lassen sich die statistischen Momente der Ausgangsgrößen nicht mehr aus denen der Streugrößen berechnen!
- Ob Taylorreihen 2. Ordnung die tatsächlichen Zusammenhängen zwischen Streu- und Ausgangsgrößen hinreichend widerspiegeln, kann man nur im Vergleich mit Ersatzfunktionen höherer Ordnung erkennen:
- Dazu wurde im Beispiel die Sample-Methode mit der Approximationsordnung 4 genutzt.
- Dabei sieht man nur eine größere Abweichung im Schnittdiagramm iMax=f(RS_Tol). Da aber der Effekt von RS_Tol auf iMax praktisch Null ist, spielt die Vernachlässigung dieser Nichtlinearität keine Rolle. Es ist sogar sehr wahrscheinlich, dass es sich hier nur um die Approximation an das Rauschen der Punktwolke handelt!
Visualisierung und Interpretation
Bei der Nutzung der Moment-Methode werden sämtliche Ergebnisse erst nach Abschluss der probabilistischen Simulation dargestellt. Auch stehen Histogramme und Korrelationen für diese Methode nicht zur Verfügung.
Man sollte vor dem Start der Simulation zwei Fenster für die Darstellung von Verteilungsdichten öffnen:
Relative Toleranzen
Hier erhält man die gewählten "perfekten" Verteilungsdichtefunktionen der Streugrößen angezeigt:
Absolute Toleranz-Größen
Die Verteilungsdichten dieser Ausgangsgrößen des Simulationsmodells werden auf Grundlage der approximierten Taylorreihen 2. Ordnung und der darüber transformierten statistischen Momente berechnet.
- Die Verteilungsdichtefunktion ist die Ableitung der zugehörigen Verteilungsfunktion nach der Streugröße:
- Die Fläche unter einer Verteilungsdichtefunktion besitzt immer den Wert 1:
Man kann deshalb die Werte der Verteilungsdichtefunktionen nicht direkt mit den Y-Werten der zugehörigen Histogramme vergleichen, welche mittels Sample-Methode gewonnen wurden:
- Bei den Histogrammen kann man an der Y-Achse ablesen, wie groß die relative Häufigkeit (0..1) innerhalb eines Rechteck-Balkens ist.
- Diese Werte sind abhängig von der gewählten Balkenzahl.
- Achtung: Nur bei der Balkenzahl=100 kann man die statistischen Momente beider Diagramm-Typen direkt vergleichen:
- Man erkennt, dass die nach beiden Methoden berechneten Mittelwerte sehr gut übereinstimmen.
- Größere Abweichungen existieren bei der Standardabweichung (bzw. der Varianz). Die Ursache ist der relativ kleine Stichproben-Umfang von 100 beim Latin-Hypercube-Sampling!
Restriktionsgrößen
--->> Hier geht es bald weiter!!!
