Software: SimX - Nadelantrieb - Robust-Optimierung - Ausschuss-Problem

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Ausschuss-Minimierung (Experiment-Konfiguration)

Datei:Software SimX - Nadelantrieb - Robust-Optimierung - exp ausschuss-min.gif

Ausschuss-Minimierung

• Innerhalb des vorhandenen Streubereiches der Parameter-Streuungen muss der Antrieb sicher funktionieren.
• In diesem Streubereich müssen alle in Form der Restriktionen beschriebenen Forderungen eingehalten werden.
• Wir streben eine Versagenswahrscheinlichkeit von Null an.

Für das Finden dieser zuverlässigkeitsbasierten optimalen Lösung nutzen wir das gleiche Simulationsmodell, wie zur probabilistischen Simulation. Wir haben schon einige Arbeit in die Konfiguration der Analyse-Experimente investiert. Deshalb wollen wir darauf aufbauend durch das erforderliche Optimierungsexperiment konfigurieren. Wir erweitern durch "Duplizieren" den Versuchsstand um ein weiteres Experiment zur "Ausschuss-Minimierung".

Statistische Versuchsplanung

Bei der zuverlässigkeitsbasierten Optimierung wird als Basis für die Bewertung nicht der einzelne Modell-Lauf, sondern die Berechnung einer kompletten Stichprobe benutzt:

• In der vorherigen Übungsetappe haben wir festgestellt, dass die Interaktionen zwischen den betrachteten Parameter-Streuungen vernachlässigbar sind.
• Wir werden deshalb für die probabilistische Simulation die Momenten Methode mit einem Polynomansatz 2.Ordnung ohne Berücksichtigung von Interaktionen verwenden.
• Das bedeutet eine wesentliche Reduzierung der benötigten Simulationszeit in Abhängigkeit von der Anzahl der berücksichtigten Streuungen:

Anzahl der | Polynom 2.Ordnung | ohne Interaktionen
Streuungen | Läufe=2·n²+1      | Läufe=2·n+1
---------------------------------------------------
  n=2      |         9         |        5
  n=3      |        19         |        7
  n=4      |        33         |        9
  n=5      |        51         |       11

• Man erkennt deutlich, dass die Kenntnis über existierende Interaktionen zwischen den streuenden Parametern von grundsätzlicher Bedeutung für die Einsparung von Berechnungszeit ist.

Optimierungsverfahren

Im Unterschied zu den Sample-Verfahren ist bei den Momenten-Verfahren das "numerische Rauschen" bei der Simulation einer Stichprobe gering:

• Der entscheidende Unterschied der Momenten- zu den Antwortflächenverfahren liegt in der Berechnung der statistischen Verteilungen der Ausgangsgrößen. Nach der Ermittlung des Metamodells werden hier die statistischen Zentralmomente µ (Mittelwert, Varianz, Schiefe und Überhöhung) der Ausgangsgrößen aus den vorgegebenen Momenten der Eingangsgrößen auf der Basis der Ersatzfunktionen y(x) berechnet. Dadurch gibt es dabei keinen stochastischen Anteil infolge der virtuellen Stichprobe.
• Die unbekannten Koeffizienten der Ersatzfunktionen y(x) des Metamodells werden mittels partieller Ableitungen durch definierte Abtastung des echten Modells berechnet. Dabei entstehen nur geringe Zufallsfehler durch die unterschiedliche Ordnung von echtem Modell und verwendeter Ersatzfunktion. Das äußert sich darin, dass kleine Änderungen der Nennwerte durch die Verschiebung der Abtaststellen zu geringen Sprüngen in den Stichproben-Ergebnissen führen.
• Die Verteilungen der Ausgangsgrößen werden abschließend mittels einer allgemeinen Lambdaverteilung durch den Vergleich mit einer bekannten Momenttabelle approximiert. Diese Berechnung erfolgt also vollkommen analytisch und deterministisch ohne Zufallszahlen.

Beachte:

"Geringes numerisches Rauschen" ist nicht gleichzusetzen mit "hoher Genauigkeit" der Berechnungsergebnisse!

• Da die auf Basis der Momenten-Methode gebildete Zielfunktion hinreichend glatt ist, können wir das Hooke-Jeeves-Verfahren verwenden.
• Eine Anzahl von 100 Optimierungsschritte könnte ausreichend sein und kann nachträglich problemlos verändert werden.

Entwurfsparameter (Nennwerte)

Die mittels Nennwert-Optimierung ermittelten "optimalen" Nennwerte sollen so verändert werden, dass trotz aller Streuungen eine Versagenswahrscheinlichkeit=0 entsteht:

• Beim Hooke-Jeeves-Verfahren steigt die Anzahl der erforderlichen Tastschritte proportional mit der Anzahl der Entwurfsgrößen.
• Jeder Tastschritt des Optimierungsverfahrens besteht aber jetzt aus den n Tastschritten der probabilistischen Simulation (Stichprobenberechnung).

Die Reduzierung des Suchraumes hat deshalb bei der zuverlässigkeitsbasierten Optimierung eine wesentlich größere Bedeutung als bei der bisherigen Nennwert-Optimierung:

• Da wir nur noch 5 Entwurfsgrößen in die Nennwert-Optimierung einbezogen, kann man im Beispiel den Suchraum nicht mehr wesentlich reduzieren.
• Eine Möglichkeit bietet R_Abschalt. Infolge der vorgegebenen Normreihe kann man den Schutzwiderstand nur in recht groben Schritten ändern. Da der bisherige Wert schon günstig ist, sollte man ihn beibehalten. Die Änderung der freien Nennwerte erfolgt dann unter Berücksichtigung des aktuellen Wertes von R_Abschalt!
• Wir benötigen somit für dieses Experiment nur vier variable Nennwerte:

d_Anker  : 5...15 mm 
w_Spule  : 100...1000 
R20_Spule: 0.1...10 Ohm
k_Feder  : 1...100 N/mm (kF_Mitte im Workflow umbenennen!)

• Mit diesen Entwurfsparametern beginnen wir den Umbau des Workflows:
  
• Für die Spulentemperatur T_Spule (T_Mitte im Workflow umbenennen!) benutzen wir als Konstante den Worst-Case-Wert von 1xx°C (xx=Teilnahme-Nr.).
• Folgende Startschrittweiten für die Abtastung der Zielfunktion haben sich als günstig erwiesen:

d_Anker  : 0.01 mm 
w_Spule  : 1 (Genauigkeit=1) 
R20_Spule: 0.01 Ohm
k_Feder  : 0.1 N/mm

Entwurfsparameter (Streuungen)

Die Streuungen bleiben weiterhin vorgegebene "konstante" Größen (Werte aus der vorherigen Etappe benutzen!).

Um die Bearbeitungszeit für diese Übungsaufgabe in Grenzen zu halten, beschränken wir uns auf 3 Streuungen. Diese erfordern nur 7 Abtastschritte pro Stichprobe. Wir löschen deshalb folgende Streuungen aus dem Experiment-Workflow:

• RS_Tol: Der Einfluss der Toleranz des Schutzwiderstands ist gering.
• T_Tol : Die Temperaturschwankungen haben nur geringen Einfluss auf das Antriebsverhalten. Der "ungünstigste" Fall wird durch den konstanten "Entwurfsparameter" mit dem Wert 1xx°C eingestellt.

Restriktionen

Wir müssen noch die für die Nennwert-Optimierung wichtigen Restriktionen im Workflow ergänzen:

L_Magnet ≤ 30 mm (Magnetlänge)
dT_Draht ≤ (50+xx) K (Erwärmung)
d_Draht  = Norm-Drahtdurchmesser 

Im Unterschied zur Nennwert-Optimierung muss man bei der zuverlässigkeitsbasierten Optimierung wesentlich mehr Sorgfalt auf die Konfiguration der Restriktionsgrößen legen:

• Bei der Nennwert-Optimierung wird nur überprüft, ob der aktuelle Wert der Restriktionsgröße im zulässigen Bereich liegt. Der zulässige Wertebereich wird durch Unter- und Obergrenze beschrieben.
• Bei der zuverlässigkeitsbasierten Optimierung muss jedoch überprüft werden, ob der gesamte aktuelle Streubereich der Restriktionsgröße im zulässigen Bereich liegt:
  • Das Problem besteht darin, dass im allgemeinen eine Streuung keine scharfen Grenzen besitzt!
  • In OptiY ist die Toleranzbreite T als der 6-fache Wert der Standard-Abweichung σ definiert. Damit erfasst man z.B. bei einer Normalverteilung 99,7% aller möglichen Werte der streuenden Restriktionsgröße.
  • An den Diagrammen der Verteilungsdichte und der Verteilungsfunktion werden für die X-Achsen unterschiedliche Grenzwerte eingetragen.
  • Bei genauerem Hinschauen erkennt man, dass die Funktionswerte auch außerhalb dieser Grenzen z.B. noch nicht Null sind:

--->>> Hier geht es bald weiter!!!

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