Software: SimX - Nadelantrieb - Probabilistik - Second-Order

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Second Order (Experimente)

---> unfertig: Siehe Stand 2007

---> in der Lehrveranstaltung noch nicht bearbeiten!

Im Prinzip stehen bei der Nutzung der Moment-Methode die gleichen Analyse-Werkzeuge zur Verfügung, wie bei den Sample-Verfahren. Nur im Detail existieren Unterschiede in Hinblick auf die Verfügbarkeit und Genauigkeit einzelner statistischer Kenngrößen.

Versuchsplanung

Wir nutzen die Moment-Methode mit einer Taylorreihe 2. Ordnung als Approximationsfunktion und Berücksichtigung von Interaktionen zwischen den Streugrößen:

• Aus unseren Erfahrungen mit der Sampling-Methode wissen wir bereits, dass die Zusammenhänge zwischen den Streu- und Ausgangsgrößen nicht nur linear sind. Das konnte man z.B. in den Schnittdiagrammen erkennen:
  
• Nutzt man die Moment-Methode ohne derartiges Vorwissen, so sollte man trotz des höheren Berechnungsaufwandes grundsätzlich mit "Second Order" beginnen. Erst nach Auswertung der dabei entstehenden Schnittdiagramme kann man sich für die lineare Ersatzfunktion "First Order" mit entsprechend geringerem Berechnungsaufwand entscheiden.
• Aus dem Experiment mit der Sample-Methode wissen wir zwar schon, dass keine wesentlichen Interaktionen zwischen den Streugrößen existieren. Wir berücksichtigen aber trotzdem erst einmal eventuelle Interaktionen bei der Bildung der Ersatzfunktionen, um die entsprechenden Analysemöglichkeiten näher zu betrachten.

Hinweis:

• Bei der Sample-Methode konnten für die Approximationsfunktion Taylorreihen beliebiger Ordnung gewählt werden. Damit kann man auch Abhängigkeiten höherer Ordnung zwischen Streu- und Ausgangsgrößen abbilden.
• Bei der Moment-Methode können höchsten Taylorreihen 2. Ordnung als Approximationsfunktion benutzt werden. Über Taylorreihen höherer Ordnung lassen sich die Verteilungen der Ausgangsgrößen durch die statistischen Momente mathematisch nicht mehr genau approximieren, weil sie (die Verteilungen) auch die Momente höherer Ordnungen enthalten müssten.
• Ob Taylorreihen 2. Ordnung die tatsächlichen Zusammenhängen zwischen Streu- und Ausgangsgrößen hinreichend widerspiegeln, kann man nur im Vergleich mit Ersatzfunktionen höherer Ordnung erkennen:
  Datei:Software SimX - Nadelantrieb - Probabilistische Simulation - schnittdiagramm ordnung4.gif

Datei:Software SimX - Nadelantrieb - Probabilistische Simulation - analysemenue moment-methode.gif

• Dazu wurde im Beispiel die Sample-Methode mit der Approximationsordnung 4 genutzt.
• Dabei sieht man nur eine größere Abweichung im Schnittdiagramm iMax=f(RS_Tol). Da aber der Effekt von RS_Tol auf iMax praktisch Null ist, spielt die Vernachlässigung dieser Nichtlinearität keine Rolle. Es ist sogar sehr wahrscheinlich, dass es sich hier nur um die Approximation an das Rauschen der Punktwolke handelt!

Visualisierung und Interpretation

Bei der Nutzung der Moment-Methode werden sämtliche Ergebnisse erst nach Abschluss der probabilistischen Simulation dargestellt. Auch stehen Histogramme und Korrelationen für diese Methode nicht zur Verfügung.

Man sollte vor dem Start der Simulation zwei Fenster für die Darstellung von Verteilungsdichten öffnen:

Relative Toleranzen

Hier erhält man die gewählten "perfekten" Verteilungsdichtefunktionen der Streugrößen angezeigt:

Absolute Toleranz-Größen

Die Verteilungsdichten dieser Ausgangsgrößen des Simulationsmodells werden auf Grundlage der approximierten Taylorreihen 2. Ordnung und der darüber transformierten statistischen Momente berechnet.

• Die Verteilungsdichtefunktion ist die Ableitung der zugehörigen Verteilungsfunktion nach der Streugröße:

• Die Fläche unter einer Verteilungsdichtefunktion besitzt immer den Wert 1:

Datei:Software SimX - Nadelantrieb - Probabilistische Simulation - verteildichte abs-tol.gif

Man kann deshalb die Werte der Verteilungsdichtefunktionen nicht direkt mit den Y-Werten der zugehörigen Histogramme vergleichen, welche mittels Sample-Methode gewonnen wurden:

• Bei den Histogrammen kann man an der Y-Achse ablesen, wie groß die relative Häufigkeit (0..1) innerhalb eines Rechteck-Balkens ist.
• Diese Werte sind abhängig von der gewählten Balkenzahl.
• Achtung: Die statistischen Momente beider Diagramm-Typen kann man direkt miteinander vergleichen:

Datei:Software SimX - Nadelantrieb - Probabilistische Simulation - histogramme abs tol100.gif

• Man erkennt, dass die nach beiden Methoden berechneten Mittelwerte sehr gut übereinstimmen.
• Größere Abweichungen existieren bei der Standardabweichung (bzw. der Varianz). Die Ursache ist der relativ kleine Stichproben-Umfang von 100 beim Latin-Hypercube-Sampling:
  • Die Standardabweichungen/Varianzen der Moment-Methode sind im Rahmen der Approximationsgenauigkeit exakt, weil sie direkt aus Momenten der Inputs berechnet werden.
  • Bei der Sample-Methode sind die Werte nicht so genau, weil sie durch die Stichprobe ermittelt wurden (je größer die Stichprobe, desto genauer sind die Varianzen).

Restriktionsgrößen

Bei den Restriktionsgrößen interessiert vor allem, in welchem Maße infolge der Streuungen unzulässige Werte auftreten:

• Im Beispiel wurden bei der Nennwert-Optimierung die maximale Abschaltspannung und der Maximalstrom ausgereizt. Das äußert sich in einer Teilversagenswahrscheinlichkeit von ca. 50% für beide Restriktionsgrößen.
• Der Grenzwert von 50 K für die Drahterwärmung wird durch den Streubereich fast erreicht.
• Hinweis: Leider kann man anhand der dargestellten Grenzwerte nur näherungsweise die tatsächlichen Grenzen der Streubereiche abschätzen. OptiY schneidet Werte der Dichtefunktion ab, die kleiner als 1/100 ihres Maximalwertes sind.

Dazu im Vergleich die Simulationsergebnisse des Latin-Hypercube-Sampling:

Datei:Software SimX - Nadelantrieb - Probabilistische Simulation - histogramm restrikt100.gif

• Qualitativ und in Hinblick auf die Teilversagenswahrscheinlichkeiten stimmen die Ergebnisse recht gut überein.
• Größere Abweichungen existieren wieder bei den Standardabweichungen. Dies widerspiegelt sich insbesondere in den Verteilungsdichten an den Grenzen der Streubereiche. So wird für dT_Draht die Teilversagenswahrscheinlichkeit dadurch minimal größer als Null.

Versagenswahrscheinlichkeit

Die Teilversagenswahrscheinlichkeiten der einzelnen Restriktionen F_i können mit der Moment-Methode sehr genau berechnet werden, weil die Verteilungsdichten der Restriktionen bekannt sind. Aber die gesamte Systemversagenswahrscheinlichkeit F kann man damit nicht analytisch ermitteln:

• Es wird eine Hilfsgröße F berechnet, die sich aus den Teilversagenswahrscheinlichkeiten F_i mit den Gewichtsfaktoren w_i der einzelnen Restriktionen summiert:
  

• Diese Hilfsgröße F wird als Maß für das Versagen im OptiY-Explorer als Bestandteil der Gütekriterien aufgelistet. Den Wert kann man sich z.B. in einem "Nenwwert-Verlauf"-Fenster anzeigen lassen:
  
• Bei einem Versagen > 1 wird spätestens klar, dass dieser Wert F nur ein "Maß" für die Gesamtversagenswahrscheinlichkeit ist:
  • Damit erhält man für die Minimierung der Versagenswahrscheinlichkeit mittels numerischer Optimierung ein stetiges und eindeutiges Maß für die vergleichende Bewertung von Lösungen.
  • "Versagen=0" als Zielstellung einer Ausschuss-Minimierung bedeutend dann im Rahmen der Modellgenauigkeit "kein Ausschuss".
  • Die Gewichtsfaktoren w_i der Restriktionen lassen wir vorläufig unverändert auf dem Wert=1.

Sensitivitäten

Die Korrelationskoeffizienten stehen bei der Moment-Methode nicht als Ergebniswerte zur Verfügung. Auf Grundlage der Sensitivitäten kann man jedoch viel besser die Auswirkung der einzelnen Streuungen auf das Modellverhalten abschätzen.

Lokale Sensitivität

Auch für die Moment-Methode werden die lokalen Sensitivitäten als RSM-Schnittdiagramm bereitgestellt (Analyse - RSM - Schnittdiagramm):

• Die Antwortfläche wird in diesem Falle durch die approximierten Taylorreihen 2. Ordnung gebildet.
• Der Unterschied zur Sample-Methode ist die Gewinnung dieser Ersatzfunktion durch systematische Abtastung des Modells an einer minimalen Anzahl von Stützstellen.

• Hinweis: Anhand der Krümmungen der Schnittfunktionen kann man schlussfolgern, dass die Wahl einer linearen Ersatzfunktion (First Order) wahrscheinlich eine unzulässige Vereinfachung darstellen würde.

Globale Sensitivitäten

Den Sensitivität-Charts kann man, wie vom Sampling-Experiemnt bereits bekannt, zwei wesentliche Informationen entnehmen:

1. Welche Streuungen haben einen vernachlässigbaren Einfluss auf die betrachteten Bewertungsgrößen?
2. Existieren merkliche Interaktionen zwischen den Streuungen?

Sind Haupt- und Totaleffekt wertmäßig praktisch gleich, so kann man die Interaktionen zwischen den Streugrößen vernachlässigen:

• Damit entfallen die Modellberechnungen für die Gewinnung der Interaktionsinformationen.
• Für 5 Streugrößen reduziert sich damit der Berechnungsaufwand von 2n²+1=29 auf 2n+1=11 auf fast ein Drittel!
• Nach erneuter Simulation werden in den Sensivität-Charts nur die Haupteffekte angezeigt:

--->> Hier geht es bald weiter!!!

Experiment-Ergebnisse

Gewinnen Sie aus den durchgeführten Experimenten folgende Informationen:

1. Tabellarische Gegenüberstellung der Sensitivitäten für die 4 Paare "Streuung/Ausgangsgröße" aus dem Sample-Experiment mit den Ergebnissen der Moment-Methode.
2. In welchem Maße ändern sich die statistischen Momente und Versagenswahrscheinlichkeiten der relevanten Bewertungsgrößen, wenn Sie die zwei Streuungen mit dem geringsten Effekt bei der probabilistischen Simulation vernachlässigen?
3. Welchen Wert ermittelten Sie für die Gesamtversagenswahrscheinlichkeit Ihres Antriebs?

Senden Sie diese Ergebnisse als Bestandteil der Lösung.

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