Software: SimX - Nadelantrieb - Robust-Optimierung - Ausschuss-Problem

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Ausschuss-Minimierung (Experiment-Konfiguration)

Zielstellung der Ausschuss-Minimierung

• Im vorhandenen Streubereich der Parameter muss der Prägenadel-Antrieb sicher funktionieren.
• D.h. alle in Form von Restriktionen beschriebenen Forderungen an den Antrieb müssen eingehalten werden.
• Wir streben eine Versagenswahrscheinlichkeit von Null an.

Vorbereitendende Arbeiten

Simulationsmodell:

• Um auf den Ergebnissen der Nennwertoptimierung der vorherigen Etappe aufzubauen, erzeugen wir das Modell Etappe6_xx.isx als Kopie der archivierten Datei Etappe5_xx_Nennwert.isx.
• Teilnehmer der Lehrveranstaltung "Optimierung" benutzen wegen der Vergleichbarkeit der Ergebnisse weiterhin einheitlich einen Wirbelstromwiderstand 1.5 mOhm.
• Als Temperatur der Spule verwenden wir im SimulationX-Modell die maximal zulässige Temperatur T_Spule=70°C.
• Wir lassen die Strombegrenzung auf dem Wert von i_Grenz = 3 A.

Optimierungsworkflow:

• Wir benötigen eine neue OptiY-Projektdatei Etappe6_xx_Ausschuss.opy.
• Günstig ist dafür als Grundlage eine Kopie der Datei Etappe5_xx_Nennwert.opy.
• Wichtig:
  • Als Startwert für die Ausschuss-Minimierung muss man den Bestwert aus der vorherigen Nennwert-Optimierung eintragen. Dann kann man direkt die sich ergebenden Veränderungen für die Versagensminimierung verfolgen.
  • Dieser Bestwert sollte in der kopierten .opy-Datei enthalten sein und kann als neuer Startwert übernommen werden (Analyse > Bestwert > Parameter übernehmen).

In Etappe6_xx_Ausschuss.opy stellen wir die Verbindung mit dem aktuellen SimulationX-Modell Etappe6_xx.isx her. Danach ergänzen wir die erforderlichen Streuungen:

• Wir berücksichtigen nur die drei Streuungen mit dem größten Einfluss (im Beispiel: Wirbelstromwiderstand, Papierdicke und Federkonstante).
• Mit unseren Erfahrungen sollte es kein Problem darstellen, diese im den Workflow eingefügten Streuungen mit den zugehörigen Modellgrößen zu verbinden:
  

Hinweis:

• Unabhängig von den individuellen Ergebnissen müssen alle Teilnehmer der Lehrveranstaltung "Optimierung" ebenfalls diese 3 Streuungen benutzen!

Statistische Versuchsplanung

Bei der zuverlässigkeitsbasierten Optimierung wird als Basis für die Bewertung nicht der einzelne Modell-Lauf, sondern die Berechnung einer kompletten Stichprobe benutzt:

• In der vorherigen Übungsetappe haben wir festgestellt, dass die Interaktionen zwischen den betrachteten Parameter-Streuungen praktisch vernachlässigbar sind.
• Wir werden deshalb für die probabilistische Simulation die Momentenmethode mit einem Polynomansatz 2. Ordnung ohne Berücksichtigung von Interaktionen verwenden.
• Das bedeutet eine wesentliche Reduzierung der benötigten Simulationszeit in Abhängigkeit von der Anzahl der berücksichtigten Streuungen:

Anzahl der | Polynom 2.Ordnung | ohne Interaktionen
Streuungen | Läufe=2·n²+1      | Läufe=2·n+1
---------------------------------------------------
  n=2      |         9         |        5
  n=3      |        19         |        7
  n=4      |        33         |        9
  n=5      |        51         |       11

• Man erkennt deutlich, dass die Kenntnis über existierende Interaktionen zwischen den streuenden Parametern von grundsätzlicher Bedeutung für die Einsparung von Berechnungszeit ist.
• Im Beispiel können wir die Anzahl der Streuungen auf 3 reduzieren, da die Streuungen der Betriebsspannung und der Spulentemperatur kaum Auswirkung auf das Verhalten hatten.

Optimierungsverfahren

Im Unterschied zu den Sample-Verfahren ist bei den Momenten-Verfahren das "numerische Rauschen" bei der Simulation einer Stichprobe gering:

• Der entscheidende Unterschied der Momenten- zu den Antwortflächenverfahren liegt in der Berechnung der statistischen Verteilungen der Ausgangsgrößen. Nach der Ermittlung des Metamodells werden hier die statistischen Zentralmomente µ (Mittelwert, Varianz, Schiefe und Überhöhung) der Ausgangsgrößen aus den vorgegebenen Momenten der Eingangsgrößen auf der Basis der Ersatzfunktionen y(x) berechnet. Dadurch gibt es dabei keinen stochastischen Anteil infolge der virtuellen Stichprobe.
• Die unbekannten Koeffizienten der Ersatzfunktionen y(x) des Metamodells werden mittels partieller Ableitungen durch definierte Abtastung des echten Modells berechnet. Dabei entstehen nur geringe Zufallsfehler durch die unterschiedliche Ordnung von echtem Modell und verwendeter Ersatzfunktion. Das äußert sich darin, dass kleine Änderungen der Nennwerte durch die Verschiebung der Abtaststellen zu geringen Sprüngen in den Stichproben-Ergebnissen führen.
• Die Streuungen der Ausgangsgrößen werden bei der Momenten-Methode als allgemeine Lambda-Verteilung durch den Vergleich mit einer bekannten Momenttabelle approximiert. Diese Berechnung erfolgt also vollkommen analytisch und deterministisch ohne Zufallszahlen.
• Eine Lambda-Verteilung besitzt immer definierte Grenzwerte. Die Quantilfunktion x und Dichtefunktion f(x) lauten:
  
• Dabei ist 0<u<1. Durch die Parameter Lambda1, Lambda2, Lambda3 und Lambda4 kann man eine beliebige Verteilungsfunktion abbilden. Dabei ist Lambda1 der Mittelpunkt und Lambda2 die Skalierung der Verteilung. Lamda3 und Lambda4 sind die Formfaktoren. Bei symmetrischer Verteilung ergibt sich Lambda3=Lambda4. Vertauschen von Lambda3 und Lambda4 bedeutet eine Spiegelung der Verteilung um den Mittelpunkt. Der Toleranzwert ist intern festgesetzt auf T=2/Lambda2 und der Mittelwert ist dabei immer der zugehörige Nennwert der Streugröße (Toleranzmittenwert).
• Im folgenden Bild sind beispielhaft einige Verteilungsdichtefunktionen dargestellt:
  
• Zusätzlich zum Fehler des Ersatzmodells (z.B. Polynomansatz 2. Ordnung) resultiert ein weiterer Fehler des Moment-Verfahrens daraus, dass mit dieser allgemeinen Lambdafunktion die wirkliche Streuung der Ausgangsgrößen natürlich nie exakt abgebildet werden kann. Der relative Fehler der Approximation steigt an den Rändern der Toleranzbreite.

Schlussfolgerung für die Konfiguration:

• Hooke-Jeeves-Verfahren kann verwendet werden, da die auf Basis der Momenten-Methode gebildete Zielfunktion hinreichend glatt ist.
• 300 Optimierungsschritte könnten ausreichend sein (kann nachträglich problemlos verändert werden).

Entwurfsparameter (Nennwerte)

Die mittels Nennwert-Optimierung ermittelten "optimalen" Nennwerte sollen so verändert werden, dass trotz aller Streuungen eine Versagenswahrscheinlichkeit=0 entsteht:

• Beim Hooke-Jeeves-Verfahren steigt die Anzahl der erforderlichen Tastschritte proportional mit der Anzahl der Entwurfsgrößen.
• Jeder Tastschritt des Optimierungsverfahrens besteht aber jetzt aus den n Tastschritten der probabilistischen Simulation (Stichprobenberechnung).
• Die Reduzierung des Suchraumes hat deshalb bei der zuverlässigkeitsbasierten Optimierung eine wesentlich größere Bedeutung als bei der bisherigen Nennwert-Optimierung.

Der aktuelle Wert unserer Entwurfsgrößen muss dem individuellen Bestwert aus der vorherigen Struktur-Optimierung entsprechen:

• Die folgenden Suchraumgrenzen gewährleisten, dass sich das Optimum innerhalb des Suchraums befindet und die Grenzen die Suche nicht behindern:

d_Anker   : 5...15 mm 
w_Spule   : 100...1000 
R20_Spule : 0.1...10 Ohm
k_Feder   : 1...100 N/mm 

• Folgende Startschrittweiten für die Abtastung der Zielfunktion haben sich als günstig erwiesen:

d_Anker   : 0.01 mm 
w_Spule   : 1 (zusätzlich Genauigkeit=1) 
R20_Spule : 0.001 Ohm
k_Feder   : 0.1 N/mm

Entwurfsparameter (Streuungen)

Die Streuungen bleiben weiterhin vorgegebene "konstante" Größen (Werte aus der vorherigen Etappe benutzen!):

• Um die Bearbeitungszeit für diese Übungsaufgabe in Grenzen zu halten, beschränken wir uns auf die 3 wesentlichen Streuungen.
• Die Beschränkung auf die folgenden 3 Streuungen erfolgte anhand der ermittelten globalen Sensitivitäten (Effekte):

d_Papier  : Nennwert=0,2 mm  / Toleranz=0,2 mm      / Gleichverteilung (verschiedene Papiersorten)
Re_Eisen  : Nennwert=1,5 mΩ  / Toleranz=1,5 mΩ      / Normalverteilung 
kFeder_rel: Nennwert=1       / Toleranz=0,6         / Normalverteilung (±30% um normierten Nennwert)

• Mit der gewählten Second Order Methode (ohne Interaktionen) sind nur 7 Abtastschritte pro Stichprobe erforderlich.

Restriktionen

Der Workflow muss folgende Forderungen in Hinblick auf den Prägenadel-Antrieb enthalten:

Praegung = 1 (Prägungsmaß)
tZyklus  ≤ 0.0036 s (Zykluszeit)
L_Magnet ≤ 30 mm (Magnetlänge) ?
dT_Draht ≤ 40 K (Erwärmung)
d_Draht  = Norm-Drahtdurchmesser 

Der Drahtdurchmesser ist wieder eine kritische Größe bei dieser Optimierung:

• Die Veränderung von Ankerdurchmesser, Windungszahl und Spulenwiderstand führt zu einer Veränderung des daraus resultierenden Drahtdurchmessers.
• Bisher wurde mittels der Restriktionsgröße d_Draht die Optimierung gezwungen, hinreichend genau einen Normdraht-Durchmesser anzustreben.
• Es könnte sein, dass die Ausschuss-Minimierung einen anderen Normdrahtdurchmesser erfordert.
• Deshalb sollte man zuerst die Grenzen für den zulässigen Drahtdurchmesser auf unwirksame Werte setzen (z.B. 0.1 mm bis 1 mm). Bei der Ausschuss-Minimierung erkennt man dann die Tendenz der erforderlichen Veränderung.

Die Magnetlänge behindert mit ihrer bisherigen Begrenzung auf 30 mm die Lösungssuche:

• Geringere Erwärmung erfordert mehr Volumen (Wickelraum für dickeren Draht und Oberfläche für Wärmeabführung).
• Kürzere Zykluszeiten erfordern eine geringe Ankermasse (Topfmagnet mit kleiner Magnetlänge)
• Die Suche einer optimalen Kompromisslösung wird durch die bisherige Längen-Begrenzung gestört!
• Wir setzen deshalb vorläufig einen unwirksamen oberen Grenzwert für die Magnetlänge (z.B. 60 mm).
• Ob die zu erwartende geringe Überschreitung der bisher angestrebten Magnetlänge akzeptabel ist, entscheiden wir nach dem Finden des Bestwertes.

Zusätzlich sind noch die beiden Restriktionen zur Beachtung der eingeschränkten Modell-Gültigkeit erforderlich:

B_max ≤ 1.65 T (max. zulässige Flussdichte für die verwendete Magnetisierungskennlinie)
i_Max ≤ 1.5 A  (verhindert die "Nutzung" der Magnetsättigung im Nennwert-Betrieb)

Im Unterschied zur Nennwert-Optimierung muss man bei der zuverlässigkeitsbasierten Optimierung wesentlich mehr Sorgfalt auf die Konfiguration der Restriktionsgrößen legen:

• Bei der Nennwert-Optimierung wird nur überprüft, ob der aktuelle Wert jeder Restriktionsgröße im zulässigen Bereich liegt. Der zulässige Wertebereich wird jeweils durch Unter- und Obergrenze beschrieben.
• Bei der zuverlässigkeitsbasierten Optimierung muss jedoch überprüft werden, ob der gesamte aktuelle Streubereich bei allen Restriktionsgrößen im zulässigen Bereich liegt.

Für jede Restriktionsgröße kann bei der probabilistischen Simulation ein zulässiger Ausschuss angegeben werden:

1. Das kann sinnvoll sein, wenn man z.B. bei der Fertigung anhand dieser Prüfgröße unzulässige Exemplare aussortiert. Das kann durchaus weniger Kosten verursachen, als eine extrem genauere Fertigung.
2. Strebt man bei der Ausschuss-Minimierung eine Gesamtversagenswahrscheinlichkeit von Null an, so erlangen bei sehr kleinen Teilversagenswahrscheinlichkeiten die numerischen Fehler bei der Simulation der Ausgangsstreuungen eine wachsende Bedeutung. Um dieses "numerische Rauschen" zu eliminieren, ist es günstig, einen sehr kleinen zulässigen Ausschusswert anzugeben, z.B. 0.3%. Das entspricht dann praktisch einem Ausschuss=0.

Dieses Problem des numerischen Rauschens bei sehr kleinen Teilversagenswahrscheinlichkeiten soll nun näher betrachtet werden:

• Im Allgemeinen besitzt eine Streuung keine scharfen Grenzen. In OptiY ist die Toleranzbreite T als der 6-fache Wert der Standard-Abweichung σ definiert. Damit erfasst man z.B. bei einer Normalverteilung 99,7% aller möglichen Werte der streuenden Restriktionsgröße.

• An den Diagrammen der Verteilungsdichte und der Verteilungsfunktion werden für die X-Achsen unterschiedliche Grenzwerte eingetragen. Bei genauerem Hinschauen erkennt man, dass die Funktionswerte auch außerhalb dieser Grenzen z.B. noch nicht Null sind.
• Die Funktionen werden bei der Darstellung abgeschnitten, wenn ihr Funktionswert den Wert=Ymax*0.0067 unterschreitet (Ymax = maximaler Funktionswert).

Für das sichere Konvergieren des Gesamtversagens gegen den Wert=0 hat sich folgende Vorgehensweise bewährt:

• Für alle Restriktionsgrößen trägt man zulässiger Ausschuss = 0.003 ein. Das entspricht mit 0,3% dem Anteil der Lösungen, der bei einer Normalverteilung außerhalb der Toleranz T=6·σ liegt.
• Ein Ausschuss kleiner 0.3% ist praktisch irrelevant, weil er nur statistische Rechen- und Approximationsfehler beinhaltet. Deshalb sollten kleinere Teilversagenswahrscheinlichkeiten bei der Berechnung des Gesamtversagens nicht berücksichtigt werden.
• Diesen Wert von 0.003 kann man durch Beobachtung der Teilversagenswahrscheinlichkeiten während der Ausschuss-Minimierung bei Bedarf noch präzisieren. Unter Umständen ist ein etwas höherer Wert dafür erforderlich.

Unstetig streuende Restriktionsgrößen:

Praegung ist ein Maß für das erfolgreiche Prägen des Papiers. Infolge des im Modell eingebauten Anschlages für die Nadelbewegung ist im Erfolgsfall Praegung=1.000...:

• Zum Glück ist unsere bisherige optimale Lösung so robust, dass die Prägung in der gesamten Stichprobe gewährleistet ist. Trotzdem sollte man weiterhin die Möglichkeit des teilweisen Nichtprägens berücksichtigen!
• Ungefähr bei Praegung=0.8 erfolgt der Riss des Papiers. Dieser Wert markiert die Unstetigkeitsstelle, denn alle Exemplare, bei denen die Nadel diese Rissposition überschreiten konnte, führen zu Praegung=1!
• Deshalb sollte man den unteren Grenzwert einer unstetigen und begrenzten Restriktionsgröße sinnvoll zwischen Unstetigkeitsstelle und Begrenzungswert setzen. Im Beispiel hat sich für Praegung ein unterer Grenzwert=0.85 als günstig erwiesen, um die tatsächliche Teilversagenswahrscheinlichkeit hinreichend abzubilden:

• Da bei entsprechend vielen "nicht prägenden" Exemplaren die approximierte Verteilungsdichte nach oben flach auslaufen kann, sollte ein etwas höherer oberer Grenzwert=1.3 benutzt werden.

Gütekriterien

Minimale Zykluszeit:

• Wir wünschen uns weiterhin, dass nach der Ausschuss-Minimierung der Nadelantrieb auch für den schlechtesten Fall noch möglichst schnell funktioniert.
• Diesen Wunsch formulieren wir aber wie gewohnt als Teil der Strafzielfunktion durch Vorgabe einer oberen Grenze für die Restriktion tZyklus.
• Ausgehend von einem Anfangswert können wir uns dann iterativ einem möglichst kleinen Maximalwert für die Zykluszeit nähern, bei dem noch Versagen=0 erreicht wird.
• Die vorherige Analyse ergab, dass wir die Forderung aus der Aufgabenstellung von 3.6 ms in der Stichprobe teilweise überschreiten. Deshalb sollte man zuerst diesen Grenzwert eintragen, da diese Forderung in jedem Fall einzuhalten ist.

Strafe:

• Wird automatisch als "echtes" Gütekriterium im Experiment-Browser ergänzt, wenn Restriktionen definiert sind.
• Die "Hierarchische Optimierung" wirkt dann wie folgt:
  1. Zuerst werden Entwurfsparameter.Nennwerte (=Toleranzmittenwerte) gesucht, welche ohne Berücksichtigung der Streuungen alle Forderungen erfüllen (Strafe=0).
  2. Erst dann werden unter Berücksichtigung der Versagenswahrscheinlichkeit die Entwurfsparameter.Nennwerte so verändert, dass das Versagen kleiner wird.

Versagen:

• Wird automatisch als Gütekriterium ergänzt, wenn Streuungen als Entwurfsparameter definiert sind.
• Es handelt sich um ein Maß für die Gesamt-Versagenswahrscheinlichkeit einer Stichprobe:
  • Für jede Restriktionsgröße werden Teilversagenswahrscheinlichkeiten ermittelt.
  • Der Wert für das Versagen F ergibt sich bei der Momenten-Methode als Summe der mit w_i gewichteten Teilversagenswahrscheinlichkeiten F_i :
    
  • Damit ist bei Versagen=0 auch die Ausschussquote=0.

Korrektes Gesamt-Versagen trotz Momentmethode

Verwendet man für alle Restriktionsgrößen den Gewichtsfaktor=1, kann man "meist" davon ausgehen, dass nach Erreichen des minimal möglichen Versagen-Wertes auch die Ausschuss-Quote dem möglichen Minimalwert entspricht. Leider gibt es mindestens zwei Ausnahmen von dieser Annahme, welche in unserem Beispiel beide zu beachten sind:

1. Da nur das Maß für das Versagen minimiert wird, werden die verwendeten Gewichtsfaktoren die Dimensionierung des erreichten Bestwertes meist beeinflussen:
   • Für unseren Antrieb beeinflussen die Gewichtsfaktoren z.B. den Kompromiss zwischen Spulenerwärmung und Schnelligkeit (wenn nicht beide Teilversagenswahrscheinlichkeiten gemeinsam den Wert=0 erreichen können).
   • Die vorherigen Analysen ergaben, dass bereits vor der Ausschuss-Minimierung die teilweise auftretenden Übertemperaturen unkritisch sind. Deshalb kann man z.B. für die dT_Draht-Restriktion einen geringeren Gewichtsfaktor=0.1 verwenden!
   • Die Restriktionsgrößen für den Schwerpunkt der Ausschuss-Minimierung (die Einhaltung einer möglichst schnellen tZyklus ≤ 3.6 ms bei vollständiger Praegung = 1) sollte man jeweils mit dem Gewichtsfaktor=1 versehen. Damit entspricht das "tZyklus"-Teilversagen bei vollständigem Prägen ungefähr dem Gesamtversagen, wenn unwichtigere Forderungen viel geringer gewichtet wurden.
2. Existieren Hilfsrestriktionen (für unseren Magnet-Antrieb i_Max und B_max), welche z.B. die Lösungssuche auf den gültigen Modellbereich beschränken, behindern diese das Erreichen eines funktionellen Ausschuss-Minimums:
   • Die Hilfsgrößen sollen nur beim Ansteuern von Strafe=0 für den aktuellen Nennwert wirken (Höchste Priorität bei der hierarchischen Optimierung).
   • Die Minimierung des Gesamt-Versagens bei Einhaltung von Strafe=0 darf durch diese Hilfsgrößen nicht beeinflusste werden (obwohl deren Teilversagen im Bereich von 50% liegen kann!).
   • Diese beiden Ansprüche kann man erfüllen, indem man die Wichtung solcher Hilfsrestriktionen sehr gering hält, z.B. Gewichtsfaktor=0.01.

Die Zielstellungen in Hinblick auf einen "korrekten" Wert für das Gesamt-Versagen, als auch in Hinblick auf ein Erreichen eines akzeptablen Bestwertes für das Ausschuss-Minimum können wir durch die Wahl geeigneter Gewichtsfaktoren für die Restriktionen erfüllen:

1. Essentielle Forderungen (tZyklus, Praegung) → Gewichtsfaktor = 1
2. Unkritische Forderungen (dT_Draht) → Gewichtsfaktor = 0.1
3. Hilfsrestriktionen für den Optimierungsprozess (i_Max, B_max) → Gewichtsfaktor = 0.01
4. Geometrische Forderungen (L_Magnet, d_Draht) → Gewichtsfaktor = 1
   (nur Einfluss auf Strafe für Nennwert, aber nicht auf Versagen der Stichprobe)

Die Gewichtsfaktoren für alle Restriktionsgrößen des Experiments sind entsprechend zu modifizieren!

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