Software: SimX - Nadelantrieb - Wirkprinzip - Zielfunktion

Experiment: Hierarchische Optimierung

Globale Suche

Die zuvor angewandte Rastersuche gehört zu den globalen Suchverfahren. Damit werden Informationen über den gesamten aufgespannten Suchraum gewonnen. Solche Informationen zu den Eigenschaften der Gütefunktion sind äußerst nützlich für den Optimierungsprozess:

Existieren mehrere lokale Optima?
Existieren voneinander getrennte Bereiche zulässiger Lösungen?
Liegen Optima direkt an Grenzen zum Bereich unzulässiger Lösungen?
Ist die Gütefunktion numerisch kritisch (unstetig, verrauscht, Polstellen usw.)?

Globale Suche setzt meist eine Reduktion des Suchraums voraus (Rechenzeit!):

Ausnutzung von Abhängigkeiten zwischen den Entwurfsparametern.
Berücksichtigung von bereits erarbeitetem Wissen zum Optimalwert einzelner Entwurfsparameter.
Die erforderliche Reduktion auf 2 bzw. maximal 3 Entwurfsparameter gelingt nur in den ersten Etappen eines Optimierungsprozesses.

Die gesamte Gütefunktion wie im obigen Bild bekommt man bei praktischen Optimierungsproblemen eher selten zu Gesicht. Deshalb sollte man zumindest ein Gefühl dafür entwickeln, wie ausgehend von einem Startpunkt mit lokalen Suchverfahren eine optimale Lösung auf der "unsichtbaren" Gütefunktion gefunden wird:

Wir hatten bereits festgestellt, dass innerhalb des Suchraums zwei unterschiedliche Bereiche existieren:
- Bereiche mit zulässigen Lösungen (alle Forderungen werden erfüllt).
- Bereiche unzulässiger Lösungen (es werden Restriktionen verletzt).
Zusätzlich existiert noch der Bereich außerhalb des Suchraums:
- Enthält alle Lösungen, von denen mindestens ein Entwurfsparameter außerhalb der festgelegten Grenzen liegt.
- Mit Ausnahme der Rastersuche können bei anderen Optimierungsverfahren während des Suchprozesses auch Lösungen außerhalb des Suchraums generiert werden! Für diese Lösungen wird dann jedoch kein Simulationslauf durchgeführt.

Die 3D-Darstellung der Restriktionsgröße Praegung zeigt die Abgrenzung zwischen zulässigen (=1) und unzulässigen Lösungen (<1) im Suchraum:

Zusätzlich wird automatisch eine Straffunktion als Bestandteil der Gütekriterien generiert, wenn Restriktionen definiert wurden. In der 3D-Darstellung der Straffunktion bilden sich die Lösungsbereiche wie folgt ab (Strafe=0 sind die zulässigen Lösungen):

Hierarchische Zielfunktion

OptiY nutzt die vom Nutzer formulierten Gütekriterien als Bestandteil einer "hierarchischen" Zielfunktion:

Um zwei Lösungen miteinander vergleichen zu können, muss für jede dieser Lösungen ein Zielfunktionswert nach der gleichen Zielfunktion gebildet werden. Der Zielfunktionswert entspricht der "Güte" oder "Fitness" einer Lösung.
OptiY verwendet dafür drei verschiedene Zielfunktionen

Straf-Funktion für die Begrenzung des Suchraums (Tool-interne "unsichtbare" Größe)
Straf-Funktion für Restriktionsverletzungen (zusätzliches Gütekriterium "Strafe")
Gütekriterien für zulässige Lösungen (vom Nutzer definiert)

Die 1. Zielfunktion hat eine höhere Priorität als die 2. Zielfunktion. Diese hat eine höhere Priorität als die 3. Zielfunktion.
Für den Vergleich zweier Lösungen wird die zuständige Zielfunktion mit der höchsten Priorität benutzt, z.B.:

Liegt mindestens eine Lösung außerhalb des durch die Grenzen der Entwurfsparameter aufgespannten Suchraums, so wird die 1. Zielfunktion benutzt.
Gibt es bei mindestens einer Lösung noch Restriktionsverletzungen, so wird die 2.Zielfunktion benutzt ("Strafe").
Nur wenn beide Lösungen im zulässigen Bereich liegen, werden die nutzerdefinierten Gütekriterien für die Bewertung benutzt.

Der Wert von "Strafe" ist Null, wenn keine Restriktionen verletzt sind (Bereich zulässiger Lösungen im zulässigen Suchraum).
Im Bereich unzulässiger Lösungen steigt der Wert der Straffunktion quadratisch mit dem Grad der Restriktionsverletzung.

Visualisierung von Suchpfaden

Aufbauend auf dem Experiment Rastersuche 2D definieren wir durch Duplizieren ein neues Experiment Suchpfade:

Zur Optimierung wählen wir das Hooke-Jeeves-Verfahren mit:
- Startschrittweite = Manuell
- Auto-Stop = Automatischer Stop
Ausgehend von unterschiedlichen Startpunkten wollen wir den Pfad des Verfahrens im Suchraum beobachten.
Dafür konfigurieren wir wieder die 3D-Darstellung für tZyklus=f(d_Anker, Feder_k).

1. Suche im zulässigen Bereich:

Wir starten in der oberen Ecke der Gütefunktion mit den Startwerten
- d_Anker=15 mm mit Startschrittweite=0,2 mm
- Feder_k=5 N/mm mit Startschrittweite=2 N/mm
Die Anfangswerte für die Entwurfsparameter liegen nicht direkt an der Grenze des Suchraumes, um die lokale Abtastung der Steigung am Rand nicht zu behindern.
Die Startschrittweiten sind in Bezug auf die Suchraumgrenzen relativ zueinander ungefähr gleich groß. Sie wurden so gewählt, dass man optisch die einzelnen Stützstellen der lokalen Abtastung im 3D-Diagramm unterscheiden kann.

Während der Lösungssuche erfolgt standardmäßig eine automatische Skalierung der Koordinatenachsen unseres 3D-Diagramms (nur Punkte zur Darstellung):
- Um eine bessere Vergleichbarkeit mit den 3D-Flächen der vorherigen Rastersuche zu erreichen, setzen wir nach dem Erreichen des Optimums für das Diagramm Auto-Skalierung=False.
- Für die X- und Y-Achse tragen wir die Grenzen des kompletten Suchbereichs ein.
- Die Grenzen der Z-Achse passen wir entsprechend der individuell ermittelten Funktionswerte an:
Während der Suche wird der Bereich zulässiger Lösungen im Wesentlichen nicht verlassen:
- Das Optimierungsverfahren bewegt sich deshalb näherungsweise entlang des steilsten Abstiegs der Gütefunktion tZyklus=f(d_Anker, Feder_k) zum flachen und lang gestreckten Talgrund.
- In der Talmulde erfolgt eine Neuorientierung für die Suchrichtung mit einer Drehung von ca. 90° und das Verfahren wandert in der Mulde bis zum tiefsten Punkt (Bestwert).

2. Start mit unzulässiger Lösung:

Mit den Startwerten (ohne Änderung der Startschrittweiten)

d_Anker=6,2 mm und
Feder_k=155 N/mm

besitzen wir einen Antrieb, der sich fast nicht mehr bewegt (Praegung ca. 0.05).

Anhand des Pfades auf der Funktion tZyklus=f(d_Anker, Feder_k) kann man noch nicht direkt erkennen, wie das Optimierungsverfahren den zulässigen Bereich der Lösungen findet:

Das Optimierungsverfahren erreicht den zulässigen Bereich der Lösungen in der flachen Mulde der Gütefunktion.
Dabei wird kurzzeitig der vorgegebene Suchbereich für d_Anker überschritten.
In der Mulde wird letztendlich wieder die gleiche Lösung mit minimaler Zykluszeit gefunden. Die Abweichung zwischen den ermittelten Bestwerten bewegt sich im Bereich des numerischen Rauschens.

Das Prinzip der hierarchischen Optimierung wird deutlicher, wenn man sich die 3D-Darstellung von Strafe=f(d_Anker, Feder_k) anschaut:

Infolge der Restriktionsverletzung Praegung<1 ist der Wert der Straffunktion zu Beginn der Optimierung nicht Null.
Deshalb erfolgt die Optimierung in der ersten Phase nur auf der Straffunktion als Zielfunktion. Es wird näherungsweise der steilste Abstieg zum Gebiet mit Strafe=0 gesucht. Dabei steigt das erreichte Prägungsmaß stetig an:
Erst wenn die Lösungssuche im zulässigen Bereich angekommen ist, erfolgt die Umschaltung der Zielfunktion auf das Gütekriterium tZyklus.
Unabhängig vom Startpunkt sollte die lokale Suche des Hooke-Jeeves-Verfahrens im Beispiel immer das globale Optimum als Bestwert finden: