Software: SimX - Nadelantrieb - Probabilistik - Latin-Hypercube
Versuchsplanung
Das Latin Hypercube Sampling ist ein geeignetes Zufallsverfahren, um in unserem Beispiel mit akzeptablem Berechnungsaufwand hinreichend genaue und anschauliche Ergebnisse zu erhalten:
- Der gewählte Stichprobenumfang von 100 ist ein guter Kompromiss zwischen Berechnungsaufwand und Nutzen.
- Der Zufallsgenerator soll Zufallszahlen in Abhängigkeit von der aktuellen Computer-Zeit liefern, d.h. bei jedem Experiment werden etwas andere Ergebnisse entstehen!
- Wir nutzen die Möglichkeit der "virtuellen Stichprobe", indem wir dafür einen Umfang >0 angeben:
- Auch die in der virtuellen Stichprobe erzeugten Datensätze müssen verwaltet werden.
- Ein Umfang von 10000 ist ein günstiger Kompromiss zwischen Genauigkeit der statistischen Aussagen und Verarbeitungsaufwand für die Auswertung.
- Für die zu approximierenden Taylorfunktionen wählen wir die Ordnung=2. Mit diesem quadratischen Ansatz können auch monotone Krümmungen im betrachteten Bereich des Parameterraumes nachgebildet werden. Man beachte, dass mittels der Taylorfunktionen nur der sehr kleine Streubereich um die Toleranzmittenwerte nachgebildet werden muss! Die globalen Nichtlinearitäten des Originalmodells spielen hier meist keine Rolle.
- Hinweis
- Falls es noch nicht geschehen ist: Man muss "Simulation" als Optimierungsverfahren wählen!
- Damit wird nur 1 Stichprobe auf Basis der Versuchsplanung berechnet.
Visualisierung und Interpretation
Bei der Nutzung von Zufalls-Verfahren kann man bereits während der Simulation den Verlauf des Experiments beobachten:
- Wie in der Realität wird aus der gesamten Stichprobe ein Modell-Exemplar nach dem nächsten untersucht.
- Die generierten Werte der streuenden Parameter und die Ergebnisgrößen (Gütekriterien und Restriktionen) werden nach jedem einzelnen Simulationslauf aktualisiert (Analyse - Histogramme).
- Die Ergebnisse werden umso genauer, je weiter man innerhalb der Stichprobe voranschreitet.
Während der Toleranz-Simulation sollte man folgende Analyse-Histogramme öffnen:
Relative Toleranzen
- Hier kann man man überprüfen, ob die prozentualen Streuungen sich in den vorgesehenen Grenzen bewegen.
- Man kann man während der Berechnung qualitativ beurteilen, ob der "reale" Stichproben-Umfang für eine "saubere" Verteilungsdichte ausreicht:
- Unmittelbar nach der Simulation der realen Stichprobe wird sofort die virtuelle Stichprobe berechnet und dargestellt, falls eine solche konfiguriert wurde:
- Die Punkte der realen Stichprobe werden bei der Auswertung der virtuellen Stichprobe zusätzlich berücksichtigt. Die darin enthaltene Information geht somit nicht verloren.
- Die Interpretation der grafischen Darstellung fällt im Vergleich zur realen Stichprobe wesentlich leichter.
- Bei den statistischen Kenngrößen gibt es Abweichungen zwischen der realen und der virtuellen Stichprobe. Die mögliche Größe der Abweichungen wird im wesentlichen durch den Umfang der realen Stichprobe bestimmt. Letztendlich bestimmt diese das Vertrauensintervall der statistischen Aussagen!
- Wie exakt die Approximationsfunktionen der Ausgangsgrößen an die Punkte der realen Stichprobe angepasst wurden, kann man mittels der Residual-Diagramme überprüfen (Analyse - RSM - Residuum Plot - Drag&Drop der Restriktionen/Gütekriterien):
- Residuen sind absolute Differenzen zwischen den Werten der realen Stichprobe (Simulationsergebnisse) und den aus der Approximationsfunktion für den gleichen Punkt berechneten Werten. Die Residuen sind somit ein Maß für die Qualität der Approximation. Allerdings gilt dies nur, wenn die Approximationsfunktion überhaupt geeignet ist, die Nichtlinearitäten der Originalfunktion abzubilden!
Absolute Toleranz-Größen
Mit diesen Ausgangsgrößen des Simulationsmodells erhält man die Möglichkeit der Überprüfung, ob aus den relativen Toleranzen die Dichteverteilungen der zugehörigen Modell-Parameter richtig berechnet wurden:
Restriktionsgrößen
Man erkennt in den entsprechenden Histogrammen schon während der Stichproben-Berechnung, in welchem Maße Restriktionen verletzt werden:
Die geringfügigen Überschreitungen des Maximalstromes um ca. 0.1 A sind vielleicht nicht gefährlich. Kritisch ist im Beispiel aber die Abschaltspannung, welche bis zu 360 V erreichen kann:
In den Histogrammen sind Bereiche mit unzulässigen Werten markiert. So erhält man einen qualitativen Eindruck, in welchem Maße Restriktionen verletzt werden. Zusätzlich steht der Wert der Teilversagenswahrscheinlichkeit unterhalb der Grafik.
Man sollte genau überlegen, ob es sich bei den angezeigten Restriktionsverletzungen um "akademische" Werte handelt, die praktisch nur eine geringe Bedeutung besitzen (z.B. Maximalstrom 1.6 A anstatt 1.5 A).
Die Praegung als Restriktionsgröße wurde bewußt nicht in das obige Histogramm-Fenster aufgenommen:
- Auf den ersten Blick scheint es sich um eine ganz normale Verteilungsdichtefunktion zu handeln.
- Beim genaueren Betrachten der statistischen Kenngrößen sieht man, dass hier nur numerisches Rauschen interpretiert wird.
- Der Wert der Praegung ist exakt 1 und streut praktisch nicht (Varianz=3.6E-19).
- Käme es im betrachteten Streubereich auch zu Zuständen des "Nichtprägens", so würde sich dieser stark nichtlineare Übergang wahrscheinlich einer sinnvollen Approximation durch eine Taylorfunktion entziehen. Auch hierbei müsste man die Ergebnisse sehr skeptisch interpretieren!
Versagenswahrscheinlichkeit
Die Teilversagenswahrscheinlichkeiten der einzelnen Restriktionsgrößen sagen nur etwas über die Größenordnung der gesamten Versagenswahrscheinlichkeit aus:
- Die Gesamtversagenswahrscheinlichkeit (Ausschussquote) ist mindestens so groß wie die größte Teilversagenswahrscheinlichkeit.
- Sie ist kleiner als die Summe aller Teilversagenswahrscheinlichkeiten, da sich deren Bereiche überlappen.
- Die Versagenswahrscheinlichkeit wird im OptiY-Explorer als Bestandteil der Gütekriterien aufgelistet, besitzt jedoch kein Eigenschaftsfeld:
- Ihr Wert wird nach erst nach Abschluss der probabilistischen Simulation (der gesamten Stichprobe) berechnet.
- Zugriff auf diesen Wert erhält man über Analyse - Nennwerttabelle:
- In der Nennwert-Tabelle werden alle Experimentgrößen für jeden Simulationslauf in jeweils einer Zeile aufgelistet. Ein Simulationslauf ist im Falle der probabilistischen Simulation die Simulation der gesamten Stichprobe. Da wir nur eine "Simulation" (anstatt einer "Optimierung") durchgeführt haben, erscheint in der Nennwert-Tabelle nur eine Zeile.
- Den Wert der Versagenswahrscheinlichkeit kann man sich auch in einem "Nenwwert-Verlauf"-Fenster anzeigen lassen. Dazu muss man die Versagenswahrscheinlichkeit per Drag&Drop in den grafischen Ausgabe-Bereich von OptiY ziehen.
- Das es in mehr als der Hälfte der Einsatzfälle zu einem unzulässigem Antriebsverhalten kommt, spricht nicht sehr für unsere bisherige "optimale" Lösung". Da man aber bei einer Nennwert-Optimierung meist einige der zulässigen Grenzwerte ausreizt, ist dieses Ergebnis jedoch typisch!
Histogramm-Eigenschaften
- Man kann mehrere Histogramme in einem Histogramm-Fenster darstellen.
- Die X-Achse ist standardmäßig je nach Stichprobenumfang in maximal 50 Bereiche (Balken) aufgeteilt.
- Die Höhe der Balken repräsentiert auf der Y-Achse die anteilige Häufigkeit der Stichprobenpunkte im jeweiligen Intervall.
- Weitere Informationen wie Mittelwert, Schiefe, Überhöhung, Varianz und Standardabweichung stehen zur Verfügung.
- Bei Restriktionen wird auch die Teilversagenswahrscheinlichkeit bezüglich der dargestellten Restriktionsgröße angezeigt.
- Bereiche mit Restriktionsverletzungen werden markiert.
- Wählt man mit dem Cursor ein Histogramm aus, so erscheinen die Histogramm-Eigenschaften im Eigenschaftsfenster:
- Man kann darin die Anzahl der Balken verändern.
- Die Grenzen der X-Achse werden standardmäßig durch Auto-Skalierung=True ermittelt.
- Wählt man Auto-Skalierung=False, so kann man die Grenzen (Min, Max) manuell einstellen.
DOE-Tabelle
- DOE="Design of Experiments" (Versuchsplanung)
- Listet für jede Modellrechnung (=1 Zeile) der echten Stichprobe in den Tabellenspalten alle im Workflow definierten Größen auf.
- Zu jeder probabilistischen Simulation, welche in der Nennwert-Tabelle nur als eine Zeile erscheint, wird eine komplette DOE-Tabelle generiert.
- Wenn man innerhalb dieser Tabelle eine Zeile auswählt (= Exemplar der Stichprobe), so wird der zugehörige Punkt in den im folgenden beschriebenen Anthill-Plots hervorgehoben und es werden dort auch die "Koordinatenwerte" eingeblendet .
- Über die Menü-Funktion Datei - Daten Export kann man diese umfangreichen Datensätze der DOE_Tabelle bei Bedarf in einer Excel-Datei weiter verarbeiten.
Anthill-Plot
Der "Ameisenhaufen" stand Pate für diese Form der Darstellung (Punktdiagramm), welche auch als Streudiagramm (engl. Scatterplot) bekannt ist. In OptiY existieren zwei Formen von Anthill-Plots:
2D-Anthill-Plot:
- Die X- und Y-Achse sind frei belegbar mit den im Workflow definierten Größen.
- Jedes Exemplar der virtuellen Stichprobe wird durch einen Punkt repräsentiert, der den Zusammenhang zwischen den beiden gewählten Größen verdeutlicht:
- Sind Achsen mit Restriktionen belegt, so werden die Punkte mit unzulässigen Werten rot markiert.
3D-Anthill-Plot:
- Es besteht auch die Möglichkeit, die Abhängigkeit einer Ergebnis-Größe (z.B. der Zykluszeit) von zwei Streu-Größen darzustellen (z.B. Federkonstante und Betriebsspannung):
- Die X-, Y- und Z-Achse dieses 3D-Scatter-Plots sind frei belegbar mit den im Workflow definierten Größen.
- Auch in diesem Diagramm wird die virtuelle Stichprobe als Punktwolke dargestellt.
Korrelationen
Es wird die Korrelation zwischen allen Toleranzen (Y-Achse) und allen Restriktionen/Gütekriterien (X-Achse) in Form von Korrelationskoeffizienten dargestellt. Im OptiY gibt es zwei Möglichkeiten der Darstellung:
Korrelationsmatrix:
- Der Koeffizient K mit einem Bereich von -1 bis +1 wird durch die Farbe gekennzeichnet:
- |K|=0 → keine Korrelation mit der Toleranzgröße
- |K|=1 → starke Korrelation mit der Toleranzgröße.
- Durch Doppelklick auf ein Element der Korrelationsmatrix wird das zugehörige Anthill-Plot geöffnet (X-Achse=Toleranz / Y-Achse=Restriktion bzw. Gütekriterium).
Korrelationstabelle:
Diese entspricht in ihrer Struktur der Korrelationsmatrix:
- Dargestellt werden die konkreten Korrelationskoeffizienten.
- Damit erhält man nicht nur eine qualitative Orientierung zur Stärke der Korrelation, sondern auch die zugehörigen Korrelationswerte.
- Hinweis:
- Korrelation bedeutet nicht "kausale Abhängigkeit"! In technischen Anwendungen verbirgt sich aber dahinter meist eine Ursache-Wirkungs-Beziehung.
Sensitivitäten
Auch wenn eine Ausgangsgröße sehr stark mit einer Eingangsgröße korreliert, kann der tatsächliche Einfluss dieser Eingangsgröße auf den Wert der Ausgangsgröße sehr gering sein! Deshalb ist viel wichtiger das Wissen über die Sensitivitäten:
--->> Hier geht es bald weiter!!!
