Software: SimX - Nadelantrieb - Probabilistik - Latin-Hypercube

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Latin Hypercube (Experimente)

Versuchsplanung

Das Latin Hypercube Sampling ist ein geeignetes Zufallsverfahren, um in unserem Beispiel mit akzeptablem Berechnungsaufwand hinreichend genaue und anschauliche Ergebnisse zu erhalten:

• Der gewählte Stichprobenumfang von 100 ist ein guter Kompromiss zwischen Berechnungsaufwand und Nutzen.
• Der Zufallsgenerator soll Zufallszahlen in Abhängigkeit von der aktuellen Computer-Zeit liefern, d.h. bei jedem Experiment werden etwas andere Ergebnisse entstehen!
• Wir nutzen die Möglichkeit der "virtuellen Stichprobe", indem wir dafür einen Umfang >0 angeben:
  • Auch die in der virtuellen Stichprobe erzeugten Datensätze müssen verwaltet werden.
  • Ein Umfang von 10000 ist ein günstiger Kompromiss zwischen Genauigkeit der statistischen Aussagen und Verarbeitungsaufwand für die Auswertung.
  • Für die zu approximierenden Taylorfunktionen wählen wir die Ordnung=2. Mit diesem quadratischen Ansatz können auch monotone Krümmungen im betrachteten Bereich des Parameterraumes nachgebildet werden. Man beachte, dass mittels der Taylorfunktionen nur der sehr kleine Streubereich um die Toleranzmittenwerte nachgebildet werden muss! Die globalen Nichtlinearitäten des Originalmodells spielen hier meist keine Rolle.

• Hinweis
  • Falls es noch nicht geschehen ist: Man muss "Simulation" als Optimierungsverfahren wählen!
  • Damit wird nur 1 Stichprobe auf Basis der Versuchsplanung berechnet.

Visualisierung

Bei der Nutzung von Zufalls-Verfahren kann man bereits während der Simulation den Verlauf des Experiments beobachten:

• Wie in der Realität wird aus der gesamten Stichprobe ein Modell-Exemplar nach dem nächsten untersucht.
• Die generierten Werte der streuenden Parameter und die Ergebnisgrößen (Gütekriterien und Restriktionen) werden nach jedem einzelnen Simulationslauf aktualisiert (Analyse - Histogramme).
• Die Ergebnisse werden umso genauer, je weiter man innerhalb der Stichprobe voranschreitet.

Während der Toleranz-Simulation sollte man folgende Analyse-Histogramme öffnen:

Relative Toleranzen:

• Hier kann man man überprüfen, ob die prozentualen Streuungen sich in den vorgesehenen Grenzen bewegen.
• Man kann man während der Berechnung qualitativ beurteilen, ob der "reale" Stichproben-Umfang für eine "saubere" Verteilungsdichte ausreicht:
  
• Unmittelbar nach der Simulation der realen Stichprobe wird sofort die virtuelle Stichprobe berechnet und dargestellt, falls eine solche konfiguriert wurde:
  • Die Punkte der realen Stichprobe werden bei der Auswertung der virtuellen Stichprobe zusätzlich berücksichtigt. Die darin enthaltene Information geht somit nicht verloren.
  • Die Interpretation der grafischen Darstellung fällt im Vergleich zur realen Stichprobe wesentlich leichter.
  • Bei den statistischen Kenngrößen gibt es Abweichungen zwischen der realen und der virtuellen Stichprobe. Die mögliche Größe der Abweichungen wird im wesentlichen durch den Umfang der realen Stichprobe bestimmt. Letztendlich bestimmt diese das Vertrauensintervall der statistischen Aussagen!
    Datei:Software SimX - Nadelantrieb - Probabilistische Simulation - histogramme rel tol virtuell.gif
  • Wie exakt die Approximationsfunktionen der Ausgangsgrößen an die Punkte der realen Stichprobe angepasst wurden, kann man mittels der Residual-Diagramme überprüfen (Analyse - RSM - Residuum Plot - Drag&Drop der Restriktionen/Gütekriterien):
    
  • Residuen sind absolute Differenzen zwischen den Werten der realen Stichprobe (Simulationsergebnisse) und den aus der Approximationsfunktion für den gleichen Punkt berechneten Werten. Die Residuen sind somit ein Maß für die Qualität der Approximation. Allerdings gilt dies nur, wenn die Approximationsfunktion überhaupt geeignet ist, die Nichtlinearitäten der Originalfunktion abzubilden!

Absolute Toleranz-Größen:

Mit diesen Ausgangsgrößen des Simulationsmodells erhält man die Möglichkeit der Überprüfung, ob aus den relativen Toleranzen die Dichteverteilungen der zugehörigen Modell-Parameter richtig berechnet wurden:

Restriktionsgrößen:

Man erkennt in den entsprechenden Histogrammen schon während der Stichproben-Berechnung, in welchem Maße Restriktionen verletzt werden:

Die geringfügigen Überschreitungen des Maximalstromes um ca. 0.1 A sind vielleicht nicht gefährlich. Kritisch ist im Beispiel aber die Abschaltspannung, welche bis zu 360 V erreichen kann:

Die Praegung als Restriktionsgröße wurde bewußt nicht in das obige Histogramm-Fenster aufgenommen:

• Auf den ersten Blick scheint es sich um eine ganz normale Verteilungsdichtefunktion zu handeln.
• Beim genaueren Betrachten der statistischen Kenngrößen sieht man, dass hier nur numerisches Rauschen interpretiert wird.
  • Der Wert der Praegung ist exakt 1 und streut praktisch nicht (Varianz=3.6E-19).
  • Käme es im betrachteten Streubereich auch zu Zuständen des "Nichtprägens", so würde sich dieser stark nichtlineare Übergang wahrscheinlich einer sinnvollen Approximation durch eine Taylorfunktion entziehen. Auch hierbei müsste man die Ergebnisse sehr skeptisch interpretieren!

Hinweis zu Histogramm-Eigenschaften:

• Man kann mehrere Histogramme in einem Histogramm-Fenster darstellen.
• Die X-Achse ist standardmäßig je nach Stichprobenumfang in maximal 50 Bereiche (Balken) aufgeteilt.
• Die Höhe der Balken repräsentiert auf der Y-Achse die anteilige Häufigkeit der Stichprobenpunkte im jeweiligen Intervall.
• Weitere Informationen wie Mittelwert, Schiefe, Überhöhung, Varianz und Standardabweichung stehen zur Verfügung.
• Bei Restriktionen wird auch die Teilversagenswahrscheinlichkeit bezüglich der dargestellten Restriktionsgröße angezeigt.
  
• Bereiche mit Restriktionsverletzungen werden markiert.
• Wählt man mit dem Cursor ein Histogramm aus, so erscheinen die Histogramm-Eigenschaften im Eigenschaftsfenster:
  • Man kann darin die Anzahl der Balken verändern.
  • Die Grenzen der X-Achse werden standardmäßig durch Auto-Skalierung=True ermittelt.
  • Wählt man Auto-Skalierung=False, so kann man die Grenzen (Min, Max) manuell einstellen.

DOE-Tabelle

• DOE="Design of Experiments" (Versuchsplanung)
  
• Listet für jede Modellrechnung der echten Stichprobe (=1 Zeile) in den Spalten alle im Workflow definierten Größen auf.
• Wenn man innerhalb dieser Tabelle eine Zeile auswählt (= Exemplar der Stichprobe), so wird der zugehörige Punkt in den im folgenden beschriebenen Anthill-Plots hervorgehoben und es werden dort auch die "Koordinatenwerte" eingeblendet .
• Über die Menü-Funktion Datei - Daten Export kann man diese umfangreichen Datensätze der DOE_Tabelle bei Bedarf in einer Excel-Datei weiter verarbeiten.

Anthill-Plot

Der "Ameisenhaufen" stand Pate für diese Form der Darstellung (Punktdiagramm), welche auch als Streudiagramm (engl. Scatterplot) bekannt ist:

• Die X- und Y-Achse sind frei belegbar mit den im Workflow definierten Größen.
• Jedes Exemplar der virtuellen Stichprobe wird durch einen Punkt repräsentiert, der den Zusammenhang zwischen den beiden gewählten Größen verdeutlicht:
  
• Sind Achsen mit Restriktionen belegt, so werden die Punkte mit unzulässigen Werten rot markiert.

--->> Hier geht es bald weiter!!!

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