Software: SimX - Nadelantrieb - Probabilistik - Latin-Hypercube

Globale Sensitivitäten

Mit der Sensibilitätsanalyse auf Basis der Schnittdiagramme ermittelten wir die lokalen Sensitivitäten als partielle Ableitung 1. Ordnung gemittelt über das jeweilige Streuintervall. Wie empfindlich das Systemverhalten auf die Änderung einer Streugröße reagiert, sagt noch nichts über den Einfluss einer Streuung im Vergleich zum Einfluss der anderen Streugrößen. Dafür muss man die sogenannte "globale Sensitivität" betrachten.

Wir wollen uns zuerst die zugehörigen Ergebnisse anschauen (Analyse > Probabilistik > Sensitivität-Chart). Es erscheint zuerst ein leeres Fenster, in das man die gewünschten Bewertungsgrößen (Restriktionen und Gütekriterien) per Drag&Drop aus dem Explorer hineinziehen kann. Für jede dieser Bewertungsgrößen wird dann ein Sensitivität-Chart (Pareto-Chart) in Bezug auf alle Streuungen generiert:

• Unter Pareto-Chart versteht man ein Balkendiagramm (Histogramm), das anzeigt, in welchem Maße ein bestimmtes Ergebnis (Effekt) durch eine bestimmte Ursache (Streuung) hervorgerufen wurde. Die Balken sind nach der Größe des Effektes geordnet.
  
• Nicht mehr gewünschte Sensitivität-Charts kann man durch Doppelklick auf das Diagramm selektieren und mit der Entf-Taste aus dem Fenster entfernen (z.B. Praegung):
  • Das Sensitivität-Chart für die Praegung sieht zwar auf den ersten Blick nicht falsch aus.
  • Da wir jedoch wissen, dass hier nur das numerische Rauschen um den Wert=1 in Form einer approximierten Ersatzfunktion abgebildet wurde, ist auch das daraus erstellte Sensitivität-Chart total wertlos!

Den Sensitivität-Charts kann man zwei wesentliche Informationen entnehmen:

• 1. Welche Streuungen haben einen vernachlässigbaren Einfluss auf die betrachteten Bewertungsgrößen?
  • Im Beispiel existiert keine Streuung, welche auf sämtliche Bewertungsgrößen keinen Einfluss hat.
  • Die Streuung der Spulentemperatur hat nur Einfluss auf die Langzeit-Erwärmung der Spule. Das hatten wir bei der Nennwert-Optimierung bereits durch Annahme des Worst Case "Maximaltemperatur" berücksichtigt! Deshalb werden wir für die weiteren Untersuchungen die Streuung der Spulentemperatur vernachlässigen.
  • Der Wirbelstrom hat zwar nur Auswirkung auf die Zykluszeit. Da diese für uns jedoch ein sehr wichtiges Kriterium darstellt, sollte man die Wirbelstrom-Streuung im Folgenden nicht vernachlässigen.
  • Kleiner als 10% ist der Einfluss von Schwankungen der Betriebsspannung auf die Streuung aller Bewertungsgrößen. Deshalb kann man die Streuung der Betriebsspannung praktisch vernachlässigen.
  • Damit kann man bei einer anschließenden probabilistischen Optimierung den Simulationsaufwand durch Reduktion der zu berücksichtigenden Streuungen von 5 auf 3 entscheidend verringern.
• 2. Existieren merkliche Interaktionen zwischen den Streuungen?
  • Es gibt Wechselwirkungen zwischen den Streugrößen, wenn die aktuellen Ist-Werte anderer Streugrößen den Einfluss der jeweils betrachteten Streugröße auf das Systemverhalten merklich verändern.
  • In den Sensitivität-Charts erkennt man das an einem merklichem Unterschied zwischen den Werten von Total- und Haupteffekt:

Haupteffekt:

Er repräsentiert den Haupteinfluss der betrachteten Streugröße Xi auf die Ausgangsgröße Y. Definiert ist er als Quotient aus der Varianz der durch Xi verursachten Streuung der Ausgangsgröße Var(Y|Xi) und der Varianz der durch alle Toleranzen X verursachten Streuung Var(Y|X)

S_H = Var(Y|Xi) / Var(Y|X)

Totaleffekt:

Er setzt sich zusammen aus dem Haupteffekt und den Interaktionen zwischen den einzelnen Streugrößen (Xi, Xj)

S_T = Var(Y|Xi) / Var(Y|X) + Var(Y|Xi,Xj) / Var(Y|X)

In OptiY wird die Interaktion durch paarweise Kombination aller Streugrößen berücksichtigt, da die gleichzeitige Berücksichtigung sämtlicher Streugrößen zu einem nicht beherrschbaren Berechnungsaufwand führt. Jedes Paar (Xi, Xj) wird als ein Glied dieser Summenformel berücksichtigt. Der Wert dieses Gliedes ist jeweils Null, wenn es keine Interaktion innerhalb des Streugrößen-Paares gibt.

Sind Interaktionen zwischen den Streugrößen vernachlässigbar, so hat dies insbesondere Bedeutung für die im folgenden Abschnitt beschriebenen Moment-Methoden. Man kann dann mit vereinfachten Funktionsansätzen arbeiten, welche einen geringeren Berechnungsaufwand erfordern.

Globale Sensitivität S_G (Definition):

• Quantifiziert (in %) die anteilige Wirkung einer Streugröße Xi auf die Streuung einer Ausgangsgröße Y.
• Haupteffekt S_H: Berücksichtigt nur die direkte Wirkung von Xi auf die Streuung von Y.
• Totaleffekt S_T: Berücksichtigt auch die indirekte Wirkung von Xi auf die Streuung von Y infolge der Änderung des Einflusses der anderen Streugrößen Xj.

Im Interaction-Chart wird für die ausgewählten Bewertungsgrößen nur der Anteil der indirekten Wirkungen geordnet nach der Größe des hervorgerufenen Effektes dargestellt:

Die komplette Übersicht über alle Abhängigkeiten zwischen den Toleranzen und den Bewertungsgrößen erhält man über die Anzeige der Sensitivitäten-Tabelle. Darin sind für jede Bewertungsgröße jeweils die Werte des Haupt- und des Totaleffekts in Bezug zu jeder Toleranzgröße aufgelistet: