Software: SimX - Nadelantrieb - Aktordynamik - Wirbelstrom-Modell

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Wirbelstrom-Modell

Vorbetrachtung

Wirbelströme entstehen durch Induktionsspannungen in elektrisch leitfähigen Materialien bei zeitlicher Änderung des sie durchdringenden magnetischen Flusses. Aus den Wirbelströmen resultiert entsprechend der Lenzschen Regel ein magnetisches Gegenfeld, welches das erzeugende Feld abschwächt:

• Infolge dieser Gegenwirkung wird die Feldänderung im Magnetkreis verzögert. Damit bewirken die Wirbelströme eine Ein- und Ausschaltverzögerung bei elektro-magnetischen Aktoren.
• Insbesondere bei schnellen Feldänderungen kommt zu einer Feldverdrängung im Eisen. Dadurch verringert sich die effektiv durchströmte Fläche, was den magnetischen Widerstand der Eisen-Elemente in Abhängigkeit von der Feldänderungsgeschwindigkeit erhöht.
• Die Wirbelströme bewirken über die ohmschen Verluste entlang ihrer Bahn eine Erwärmung des Eisenmaterials. Insbesondere beim Einschaltvorgang bilden sie eine wesentliche Komponente der Eisenverluste.

Mit sehr großem Berechnungsaufwand kann man mit Finite-Element-Simulationen die Wirkung der Wirbelströme innerhalb eines Magnetkreises detailliert untersuchen. Das ist innerhalb der System-Simulation mit Netzwerk-Modellen nur sehr eingeschränkt möglich!

Wir beschränken uns deshalb im Folgenden auf eine qualitative Nachbildung der Verzögerung der Feldänderung im Magnetkreis und die Auswirkung der Wirbelströme auf den Spulenstrom:

• Eine Messung des zeitlichen Verlaufs des Einschaltstroms an einem unbeweglichem Elektromagneten ergibt ohne Berücksichtigung der aussteuerabhängigen Permeabilität qualitativ folgende Stromverläufe:
  
• Der Enstrom I_end wird bestimmt durch die verwendete Betriebsspannung U und dem ohmschen Widerstand R_Cu des Spulendrahtes.
• Der Stromsprung I₀ resultiert aus dem praktisch sofort fließenden Wirbelstrom mit seinen ohmschen Verlusten in den Eisen-Elementen. Diese Verlustenergie EW=U·I₀ wird von der Spannungsquelle sofort bereitgestellt.
• Der Wert von I₀ liegt bei realen Magneten bezogen auf I_end bei maximal 5 bis 10%, wenn der Magnetkreis massive Eisenabschnitte enthält. Verwendet man geblechte Eisenkreise, so liegt dieser Sprung unter 1% und ist im Mess-Signal häufig kaum erkennbar.

Wir werden unser Modell nun so umgestalten, dass wir den Wirbelstrom zumindest in einer ersten Näherung berücksichtigen.

Wichtig:
Um unseren bisherigen Bearbeitungszustand nicht zu zerstören, erzeugen wir aus Etappe2a_xx.isx eine Kopie Etappe2b_xx.isx, mit der wir jetzt arbeiten. Wir können dann auch jederzeit die Auswirkung der zusätzlich berücksichtigten Effekte vergleichend analysieren:

• Das neue Modell soll die Bestwerte aus der Nennwert-Optimierung von Etappe2a erhalten.
• Wir überprüfen, ob das konfigurierte Modell das gewünschte Verhalten zeigt!

Globaler Wirbelstrom-Ersatzwiderstand

Die einfachste Methode (welche wir nicht anwenden!), ist die Berücksichtigung des Wirbelstroms durch einen ohmschen Widerstand auf der elektrischen Seite des elektro-magnetischen Wandlers (Spule):

• Dieser ohmsche Widerstand R_Wirbel muss direkt parallel zu den widerstandslosen Windungen der Spule angeordnet werden. Dazu müsste man im SimulationX-Spulenelement Rel=0 setzen!
• Der ohmsche Widerstand R_Spule des Windungsdrahtes liegt dann als separates Element in Reihe zur Spannungsquelle.
• Besitzt man infolge von Messungen (oder aus Erfahrung) den Wert I₀ für den Stromsprung und kennt den Endwert I_end, so kann man daraus R_Wirbel berechnen:
  R_Wirbel = R_Spule·(I_end/I₀ - 1)
• Beim Einschalten des Magneten kommt es mit diesem Modell zum Stromsprung I₀ und zu einer geringfügigen Verzögerung des Anzugsvorgangs, da an den Windungen der Spule weniger von der Betriebsspannung ankommt.
• Beim Abschalten ergibt sich die größte Auswirkung, indem der Abfallvorgang verzögert stattfindet. Der Wirbelstromwiderstand wirkt wie ein relativ kleiner Schutzwiderstand zur Begrenzung der Abschaltspannung. Dadurch benötigt der Abbau des Stromes eine längere Zeit und die Haltekraft bleibt länger erhalten!

Die Wirkung dieses globalen elektrischen Ersatzwiderstandes kann man auch auf die magnetische Seite des elektro-magnetischen Wandlers transformieren:

Rel_Fe = R_Wirbel/w_Spule²

• Dieses Wirbelstrom-Element in der magnetischen Domäne entspricht einer Kurzschlusswindung um das zugehörige Eisen-Element Rm_Fe. Infolge der Flussänderungen im Eisen wird eine Spannung in dieser kurzgeschlossenen Windung induziert. Der ohmsche Widerstand entlang des sich ergebenden Strompfades bestimmt den Betrag des Wirbelstroms:
  
• Verwendet man obige Umrechnungsformel zwischen R_Wirbel und Re_Fe, so ist das Verhalten beider Modelle identisch:
  
• Das SimulationX-Spulenelement enthält nun wieder Windungszahl und ohmschen Widerstand des Drahtes.

Lokaler Wirbelstrom in jedem Eisen-Element

Auch die folgenden Betrachtungen führen wir noch ohne Veränderung unseres Modells durch:

• Enthält die Netzwerk-Struktur der magnetischen Domäne Verzweigungen des magnetischen Flusses, so beeinflussen die Wirbelströme entscheidend die Aufteilung des magnetischen Flusses. Das kann man sich sehr einfach bei Berücksichtigung des Spulenstreufeldes verdeutlichen:
  
• Das Streufeld der Spule ist ein Luftelement und besitzt unabhängig vom aktuellen Magnetfeld einen konstanten magnetischen Widerstand.
• Der Eisenabschnitt liegt in der Modellstruktur parallel zum Spulen-Streufeld. Bei schnellen Flussänderungen bewirkt das Wirbelstrom-Element ein Vergrößern des magnetischen Widerstandes des Eisen-Flusszweiges. Der magnetische Fluss wird damit durch das Streufeld der Spule "gedrückt" und geht damit dem eigentlichen Arbeitskreis für diese Zeitspanne verloren.

Wir betrachten nun unsere Netzwerk-Struktur. Infolge der Teilung des Eisenkreises in ein "inneres" und ein "äußeres" Eisen-Element kommt es zu weiteren Auswirkungen des Wirbelstroms, wenn wir diesen in beiden Eisen-Elementen berücksichtigen:

• Der Einschaltstromsprung wird nun verschliffen, sodass der Wert I₀ nicht eindeutig ablesbar ist:
  
• Es kommt zu den bereits beschriebenen Verdrängungseffekten des Flusses vom äußeren Eisenabschnitt in die Spulenstreuung.

Modell-Erweiterung (Wirbelstrom)

Geometrie-Element

Der Wert des elektrischen Widerstands der Wirbelstrom-Bahn eines jeden Eisen-Abschnitts wird durch Geometrie und Material-Eigenschaften des Eisenkreises bestimmt. Prinzipiell könnte man die Parameter für Wirbelstrom-Elemente aus den Abmessungen und den Material-Kennwerten berechnen. Bisher wurden in der Literatur jedoch noch keine praktikablen Berechnungen zum Erreichen dieses Ziels gefunden. Deshalb wird hier ein sehr einfacher Ansatz gewählt:

• Wir gehen von der konstruktiven Randbedingung aus, dass der gesamte Eisenkreis aus gleichem Material besteht.
• Der Querschnitt entlang des magnetischen Flusses soll im gesamten Eisenkreis näherungsweise gleich groß bleiben. Wir nehmen vorläufig an, dass auch die geometrische Form des Querschnitts gleich bleibt, da die konkrete Geometrie des Magnetkreises noch unbekannt ist.
• Mit diesen Annahmen ist der elektrische Leitwert der effektiven Wirbelstrombahn eines Eisenelements nur noch proportional zu seiner Länge.
• Wir geben für die gesamte Eisenlänge einen Wirbelstromwiderstand Re_Eisen als Parameter vor. Den Wert dieses gesamten Wirbelstromwiderstandes legen wir so fest, dass der Stromsprung beim Einschalten vorhandene Messungen oder Erfahrungswerte widerspiegelt.
• Für einen Eisenabschnitt Fe_i des Magnetkreises kann man den zugehörigen Wirbelstromwiderstand auf Grundlage seines Anteils an der Gesamtlänge berechnen:
  Re_Fe_i=Re_Eisen·L_Eisen / L_Fe_i
• Im Geometrie-Element werden die Zusammenhänge wie folgt berücksichtigt:
  

Wir konzentrieren alle weiteren Dimensionierungsberechnungen im Geometrie-Element, wie wir es bereits für einige Aspekte begonnen haben:

1. Alle für die Dimensionierung benötigten Größen werden als Parameter bzw. Variable des Geometrie-Elements definiert.
2. Die im Geometrie-Element definierten Größen stehen dann anderen Modell-Elementen als Parameter zu Verfügung.

Die Spulen-Parameter für die Windungszahl und den elektrischen Widerstand definieren wir als Geometrie-Parameter w_Spule und R_Spule. Beide sind mit den richtigen Einheiten und als Typ Real zu definieren, obwohl die Windungszahl technisch nur ganzzahlige Werte annehmen kann:

• Windungszahl und Spulenwiderstand bleiben im weiteren Prozess der Magnet-Dimensionierung konstruktive Basis-Parameter, die nicht aus anderen Parametern berechnet werden.
• Im Spulen-Element nehmen wir dann Bezug auf Geometrie.w_Spule bzw. Geometrie.R_Spule.

Wirbelstrom-Element

In der SimulationX Express Edition kann nur ein Wirbelstrom-Element verwendet werden. In unserer Modellstruktur des Magnetkreises benötigen wir jedoch zwei Wirbelstrom-Elemente. Deshalb erzeugen wir uns im Modell mit dem TypeDesigner den lokalen Element-Typ EddyCurrent:

Als Symbol der Größe 61x61 kann man obiges Bild importieren, welches dem Symbol des SimulationX-Bibliothekselements entspricht.

Auch inhaltlich gestalten wir den lokalen Element-Typ dem Bibliothekselement nach:

• Er besitzt zwei magnetische Anschlüsse. Diese ziehen wir nach dem Definieren in der Grafik mit dem Cursor an die richtige Position.
• Der magnetische Fluss Phi ist die Zustandsgröße des Elements. Diese benötigt einen Anfangswert Phi0 für den Zeitpunkt tStart.
• Ein Anfangswert wird als "normaler" Parameter definiert, muss dann jedoch die Kennzeichnung Anfangswert erhalten, damit er als solcher zur Verfügung steht. Dabei wird er automatisch zum "konstanten Parameter", d.h. er kann nicht durch eine Gleichung beschrieben werden:
  
• Die Zustandsgröße wird als "normale" Variable definiert, erhält dann jedoch den zuvor definierten Anfangswert aus der Liste der verfügbaren Anfangswerte zugewiesen:
  
• Das Verhalten des Wirbelstrom-Elements ist sehr einfach im Gleichungsabschnitt zu definieren. Die sich entgegen der Flussänderung aufbauende magnetische Spannung ist proportional zur Flussänderungsgeschwindigkeit:
  
• Die Wirkung des Wirbelstrom-Elements ist umso größer, je kleiner der elektrische Widerstand Reddy der Wirbelstrombahn ist.

Modell-Struktur

Achtung:
Bevor wir die Modell-Struktur um die Wirbelstrom-Elemente erweitern, konfigurieren wir die Ergebnis-Darstellung für die Validierung der Modelländerung:

• Verringerung der min. Ausgabeschrittweite auf dtProtMin=(tStop-tStart)/1000, um damit den verrundeten Stromsprung hinreichend genau darzustellen.
• Nach erneuter Simulation Einfrieren der simulierten Kurvenverläufe der bisherigen Optimal-Lösung im Ergebnisfenster.
• Damit können wir sehr einfach überprüfen, ob die Wirbelstrom-Elemente nach dem Einbau richtig funktionieren:

Wir benutzen in der Express Edition das verfügbare Wirbelstrom-Element aus der Bibliothek für den äußeren Eisenabschnitt. Für das noch fehlende innere Element nehmen wir unser eigenes:

Modell-Konfiguration:

• Der Wirbelstromwiderstand Reddy jedes Eisenabschnitts erhält seinen zugehörigen Wert aus dem Geometrie-Element:
  
  • Der Anfangswert des magnetischen Flusses Phi0 ist in den Wirbelstrom-Elementen Null. Dieser Wert ergibt sich aus der Fixierung des Fluss-Anfangswertes im Spulen-Element. Eine zusätzliche Fixierung würde also zu einer Überbestimmtheit führen!
  • Hinweis: Seit der Version 3.7 enthält das Bibliothekselement des Wirbelstroms zusätzlich die zeitliche Ableitung des magnetischen Flusses Phidot als Zustandsgröße. Dessen Anfangswert wird durch Phidot0 festgelegt. In der aktuellen SimulationX-Version ist es nicht erforderlich, Phidot0 zu fixieren, da die automatische Initialisierung den korrekten Wert ergibt.
• Im Spulen-Element wird weiterhin nur der Anfangswert des magnetischen Flusses Phi0 durch Fixieren für den gesamten Magnetkreis festgelegt:

• Wir setzen zur Validierung des Modells vorläufig den Gesamt-Wirbelstromwiderstand Geometrie.Re_Eisen auf einen großen Wert, z.B. 1 kΩ. Damit fließt praktisch kein Wirbelstrom und der Antrieb müsste sich so verhalten, wie wir es in den eingefrorenen Signalverläufen archiviert haben.
• Die Signalverläufe müssen mit diesen Einstellungen exakt deckungsgleich zur Simulation ohne Wirbelstrom-Elemente sein.

Wirkung des Wirbelstroms

Nachdem unser Modell mit "unwirksamen" Wirbelstrom-Elementen funktioniert, wollen wir untersuchen, in welcher Größenordnung der Wirbelstromwiderstand praktisch liegen wird:

• Wir verringern den Wirbelstromwiderstand soweit, bis man "mit gesundem Menschenverstand" eine minimale Wirkung im Modellverhalten erkennt:

• Die Wirkung des implementierten Wirbelstromeffekts äußert sich hierbei in einer leichten Verzögerung des Abfallvorgangs. Der Stromsprung beim Einschalten liegt unter 1 mA und ist praktisch nicht erkennbar.
• Hinweise::
  • Wir merken uns die Größenordnung des Wirbelstromwiderstands, der zu einem merklichen Effekt führt.
  • Für die folgenden Untersuchungen wird vorausgesetzt, das in der Simulationsteuerung die Protokollschrittweite verringert wurde, damit wir die Wirbelstromeffekte im Spulenstrom erkennen können (z.B. dtProtMin=(tStop-tStart)/1000).
• Als nächstes wollen wir den unteren Grenzwert für den Wirbelstromwiderstand abschätzen. Dazu verringern wir ihn soweit, bis der Stromsprung nach dem Einschalten ungefähr 10% vom maximal zulässigen Spulenstrom beträgt. Das sind 0.15 A bei einem zulässigen Strom von 1.5 A:

• Trotz der Änderung des Stromverlaufs beim Einschalten, ist die Auswirkung auf den Anzugsvorgang kaum erkennbar. Die Ursache liegt in der vereinfachten Modellierung des Wirbelstroms. Die Feldverdrängung innerhalb des Eisenquerschnitts wird damit nicht nachgebildet. Somit wirkt im Modell jetzt ein größerer effektiver Eisenquerschnitt als in der Realität.
• Nicht zu übersehen ist hingegen die Auswirkung auf den Abschaltvorgang. Der Kraftabbau verläuft verzögert und es dauert relativ lange, bevor die Rückholfeder den Anker zurückbewegen kann. Die optimale Dimensionierung des Antriebs wird unter Berücksichtigung dieses Wirbelstromeffekts zu veränderten Parametern führen.
• Im Zoom erkennt man deutlich, dass der Stromsprung "abgerundet" ist, wie wir es auf Grund der Modellstruktur erwartet haben:

Im nächsten Schritt werden wir unter Berücksichtigung des ermittelten Wirbelstroms eine erneute Nennwert-Optimierung vornehmen.

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