Software: SimX - Einfuehrung - Elektro-Chaos - Kondensator

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Elektrische Kapazität (Kondensator)

Ein elektrischer Kondensator besteht aus zwei elektrisch leitenden Flächen in meist geringem Abstand (Elektroden). Dazwischen befindet sich immer ein Bereich mit isolierender Eigenschaft (Dielektrikum). Ein Kondensator kann auf diesen Elektroden elektrische Ladungen speichern. Dadurch entsteht zwischen den Elektroden im Dielektrikum ein elektrisches Feld.

Die Fähigkeit, elektrische Energie in Form von Ladung und daraus resultierendem elektrischen Feld zu speichern, wird als elektrische Kapazität bezeichnet und in der Einheit Farad (F) gemessen (1 F = 1 A·s/V). Ein Kondensator besitzt eine Kapazität von 1 F, wenn sich bei einem konstanten Strom von 1 A die Spannung an den Anschlüssen um 1 V in einer 1 s verändert.

Am Beispiel eines einfachen Experiments mit dem elektrischen Kondensator werden wir zuerst die Nutzung des Simulationssystems SimulationX erkunden:

Wir untersuchen die Aufladung eines Kondensators nach dem Anschließen einer Spannungsquelle. Damit es nicht zu sehr "funkt", lassen wir den Aufladestrom über einen in Reihe geschalteten Widerstand fließen.

Würden wir diese Schaltung als "materiellen" Versuchsstand aufbauen, so könnte man bei einer hinreichend großen Kondensator-Kapazität am Voltmeter beobachten, wie sich der Kondensator bis zur Ausgangsspannung des Netzteils auflädt. Solche Versuche sollten aus dem Physikunterricht bekannt sein. Nur so erhält man die Chance, ein Gefühl dafür entwickeln, dass es z.B. "funkt", wenn man den Reihenwiderstand vergisst. Und dass es gewaltig "funkt", wenn man den aufgeladenen Kondensator mit einem Draht kurzschließt. Außerdem erhöht die Reaktion des Physiklehrers auf solche Ereignisse zusätzlich die soziale Kompetenz des Experimentierenden.

Simulationssoftware

Wir beschränken uns in dieser Übung auf "virtuelle" Experimente mit numerischen Modellen des Kondensators und der restlichen elektronischen Schaltung des Versuchsstandes. Grundlage dafür ist ein geeignetes Simulationssystem. Mit der Studenten-Lizenz von SimulationX der Firma ITI GmbH Dresden steht uns ein modernes System zum Modellieren, Simulieren und Analysieren von physikalischen Effekten zur Verfügung.

Achtung: Nach dem Start von SimulationX zuerst Benutzeroberfläche anpassen!

• Hat man noch keine individuellen Anpassungen der Benutzeroberfläche vorgenommen, so wirkt diese infolge einer Vielzahl von Werkzeugleisten sehr überladen.
• Deshalb sollte man mittels Extras > Anpassen alle Symbolleisten außer der Menüleiste ausblenden:
  
• Günstig ist es, in diesem Zusammenhang auch die Menüs immer vollständig anzeigen zu lassen:
  
• Die Programmoberfläche hat in der "aufgeräumten" Grundeinstellung folgende wesentlichen Bereiche:
  

• In der Modellbibliothek findet man ein reichhaltiges Angebot an Modell-Elementen aus allen möglichen Fachgebieten.
• In den Modellbereich kann man diese Elemente einfach mit dem Cursor ziehen:
  • Hinweis: Obige Schaltung bauen wir nachher systematisch auf! Wir beschränken uns jetzt auf ein paar spielerische Aktionen.
  • Wie in einem "echten" Versuchsstand kann man die Elemente miteinander verbinden.
  • Zum Verbinden nutzt man wieder den Cursor.
  • Das gelingt aber nur, wenn die Element-Anschlüsse zueinander passen (auch in der wirklichen Welt funktioniert eine elektrische Leitung meist nicht besonders gut als Wasserleitung!)
• Im Modellexplorer erscheint das aufgebaute Modell als Baumstruktur:
  • Die Form dieser Darstellung entspricht der Ordneransicht im Windowsexplorer.
  • In dieser Baumstruktur werden die Elemente und die Verbindungen abgebildet.
  • Wenn man ein Element in der Baumstruktur oder in der Modellansicht auswählt, erscheinen die zugehörigen Informationen rechts neben der Baumstruktur.
• Im Ausgabebereich erscheinen z.B. Fehlermeldungen bei der Arbeit mit dem Modell (hoffentlich nicht!).

Modell des Versuchsstands

Damit es nun richtig losgehen kann, müssen wir zuvor unseren Modell-Ansichtsbereich entrümpeln, falls wir zum Ausprobieren dort ein paar Modell-Element verknüpft hatten:

• Die Modell-Elemente kann man einfach löschen.
• Besser ist es, man schließt das Modell (Datei > Schließen) und öffnet ein neues Modell (Datei > Neu).
• Wir speichern das Modell (Datei > Speichern unter) und wählen dafür einen sinnvollen Namen (z.B. RC-Glied).

Der Aufbau des numerischen Modells einer elektronischen Schaltung erfolgt prinzipiell genauso, wie bei einer realen Schaltung -> man holt sich die benötigten Bauelemente mit den richtigen Kennwerten und verbindet sie miteinander:

• Wir beginnen mit dem Kondensator, den wir aus der Bibliothek (Elektronik>Analog>Grundbausteine) in den Modellbereich ziehen.
• Der Kondensator besitzt noch nicht den richtigen Bezeichner C und ist um 90° zur gewünschten Lage verdreht. Seine aktuelle Kapazität erkennt man, wenn man den Cursor darüber bewegt:
  
  • Namensänderung durch Mausklick in das Namensfeld und Editieren.
  • Drehen des Symbols in der Schaltung z.B. mittels Elemente > Nach rechts drehen. Für ungepolte Bauelemente ist die Einbaurichtung in die Schaltung egal. Die Markierung einer "positiven" Seite hat nur Auswirkungen auf das Vorzeichen von Strom und Spannung des Elements, ändert aber nichts an der Funktion.
  • Kapazitätswert nach Doppelklick auf das Symbol erscheint der Eigenschaftsdialog. In der Registerkarte Parameter erhöhen wir den Wert für C auf 1000 µF. Der Anfangswert v0=0 V definiert einen entladenen Kondensator.

Wichtig:

• Jede physikalische Domäne (z.B. Elektronik, Mechanik, Magnetik) benötigt ein definiertes Nullpotential.
• Damit man dieses Nullpotential nicht vergisst, sollte man das zugehörige Element möglichst frühzeitig im Modell definieren.

Eine günstige Lage für die Beschriftung eines Elements kann man im Eigenschaftsdialog > Allgemein festlegen:

• Das Verbinden der Bauelemente-Anschlüsse kann man intuitiv durch Ziehen mit dem Cursor erledigen (linke Maustaste dabei drücken!).
  
• Wir vervollständigen nun die Schaltung mit folgenden Bauelementen:

1. Netzteil u = 10 V (Konstantspannungsquelle)
2. Widerstand R = 1 kΩ
3. Voltmeter (Spannungssensor)

Konfiguration des Experiments

Wir wollen den Aufladevorgang des entladenen Kondensators nach dem Anschließen der Spannungsquelle untersuchen:

• Im realen Experiment könnte man das Ansteigen der Kondensator-Spannung am Voltmeter beobachten (wenn die Spannungsänderung hinreichend langsam erfolgt). Diese Beobachtung wäre zwar anschaulich, aber nur qualitativ, da man es kaum schafft, zu bestimmten Zeitpunkten die zugehörigen Spannungswerte zu notieren.
• Deshalb benutzt man in der Praxis ein digitales Oszilloskop, um für alle interessierenden Stellen an einer Schaltung beliebig schnelle Spannungsverläufe aufzuzeichnen.
• Ein Simulationsprogramm kann nicht nur das zeitliche Verhalten des numerischen Modell unserer elektronischen Schaltung berechnen. Diese Software bietet auch Möglichkeiten, alle berechneten Signalverläufe genauso wie ein digitales Oszilloskop aufzuzeichnen.
• Wenn wir im Beispiel den Strom durch den Kondensator und die Spannung am Kondensator aufzeichnen möchten, so müssen wir diese Funktion zuvor aktivieren (Kondensator > Eigenschaften > Ergebnisgrößen):

• Es werden nur die Signale aufgezeichnet, welche man dafür freigeschaltet hat.
• Damit man der Verlauf aufgezeichneter Signalgrößen bei der Simulation betrachten kann, muss man zuvor diese Ergebnisgrößen für die Darstellung auswählen (mittels rechten Mausklick auf den Kondensator):

• Eine günstige Form ist hier die Darstellung beider Signale in einem Fenster, aber jeweils in einem eigenen Panel.
• Da wir noch keine Simulation gestartet hatten, erscheint zunächst ein Fenster mit zwei leeren Signal-Panelen.
• Wir starten einfach mal einen Simulationslauf (Simulation > Start):

• Standardmäßig wird ein Zeitbereich von tStart=0 s bis tStop=1 s simuliert. In unserem Beispiel ist in dieser Zeit der Aufladevorgang des Kondensators noch nicht beendet.
• Wir erhöhen mit der Simulationssteuerung (Simulation > Einstellungen Transient) die Simulationszeit auf tStop=5 s:

Dabei werfen wir gleich noch einen Blick auf einige andere Parameter für einen Simulationslauf:

• Die Simulation im Zeitbereich erfolgt mit einer variablen Rechenschrittweite dt . Diese wird automatisch so angepasst, dass sie immer möglichst groß ist und trotzdem noch eine hinreichend genaue Simulation erfolgt:
  • dtMin ist die kleinste zulässige Schrittweite. Bei stark untetigen Modellen kann man diese Bedarf bis ca. 1e‑20 s verringern. Wir verringern die Standardvorgabe von 1e‑8 s auf dtMin=1e‑12 s.
  • dtMax ist die größte zulässige Schrittweite. Diese sollte man auf einen Wert in Abhängigkeit vom Zeitbereich begrenzen. Im Beispiel ist gewährleistet, dass der gesamte Zeitbereich immer durch mindestens 100 berechnete Punkte abgebildet wird (dtMax=(tStop-tStart)/100). Signalverläufe werden durch Geraden zwischen den berechneten Punkten approximiert. Gekrümmte Signalverläufe erscheinen bei zu großen Rechenschrittweiten als eckig, obwohl die einzelnen Punkte hinreichend genau berechnet werden.
  • dtProtMin ist die kleinste Ausgabeschrittweite. Standardmäßig wird hier ein Absolutwert dtProtMin=0.001 s vorgegeben. Das stört für den gewählten Zeitbereich nicht. Bei einem Zeitbereich von z.B. 5 ms würden jedoch nur 5 Berechnungspunkte dargestellt! Deshalb sollte man dtProtMin grundsätzlich wie dtMax auf den Zeitbereich beziehen: z.B. gewährleistet dtProtMin=(tStop-tStart)/500 unabhängig vom Zeitbereich meist eine hinreichend exakte Darstellung der Signalverläufe bei moderater Punktdichte.

Experimente

Die Zeitkonstante des RC-Gliedes beträgt

[math]\displaystyle{ \tau = R \cdot C }[/math]

Der Anstieg der Spannung erfolgt bei der Ladung des Kondensators mit

[math]\displaystyle{ u(t) = U_{\rm max} \cdot (1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) \, }[/math]

Markante Näherungswerte für die erreichte Aufladespannung sind dabei:

1 · τ ≈ 63,2 %

3 · τ ≈ 95,0 %

5 · τ ≈ 99,3 %

Nach der 5-fachen Zeitkonstante ist ein Kondensator praktisch vollständig aufgeladen.

Mit unseren konkreten Werten

R = 1 kΩ = 1000 V/A

C = 1000 µF = 0.001 A·s/V

ergibt sich eine Zeitkonstante von

τ = 1 s

Das hatten wir auf Grund des Signalverlaufs der Kondensatorspannung bereits vermutet. Wir überprüfen nun die markanten Näherungswerte innerhalb des Signalverlaufs durch Messen mit dem Cursor:

• Mit gedrückter linker Maustaste bewegen wir uns dazu im Signal-Panell v-C.
• Die zugehörigen X- und Y-Werte erscheinen in der Statuszeile des Signalfensters.
• Dabei werden wir feststellen, dass wir die "exakten" Zeitpunkte mit dem Cursor nicht ansteuern können! Auf Grund der variablen Simulationsschrittweite dt ist das auch sehr unwahrscheinlich. Solche Zeitpunkte müsste man innerhalb des Modells zuvor als "Ereignisse" definieren.

Wir nutzen unser bisheriges Wissen nun, um durch eine Veränderung der Modellparameter den Entladevorgang des Kondensators zu untersuchen:

• Zum Zeitpunkt tStart soll der Kondensator eine Anfangsspannung von 10 V besitzen.
• Die Ausgangsspannung des Netzteils soll 0 V betragen.
• Ein Rücksetzen und Starten der Simulation wird nun den Entladevorgang zeigen.

Hinweis: Da wir nun häufiger Simulationsläufe starten, sollten wir den Toolbar für die Simulation benutzen (Extras > Anpassen > Symbolleisten > Simulation). Nicht den Toolbar "Simulationssteuerung" benutzen!

Für einen vorgegebenen Grenzwert der Kondensator-Spannung soll der "exakte" Zeitpunkt erfasst werden. Manuell durch Ausmessen der Signalverläufe gelingt das nicht:

• Stoppuhr: Wir erweitern unser Modell um ein Ereignisgesteuertes Abtastglied (Bibliotheken > Signalglieder > Spezielle Signalglieder). Dieses Signalglied speichert den Wert des Eingangssignals x, wenn das Steuersignal s einen vorgegebenen Grenzwert erreicht.
• Das Ausgangssignal des Voltmeters benutzen wir als Steuersignal s der Stoppuhr.
• Zeit: Als Eingangssignal x der Stoppuhr benötigen wir die aktuelle Simulationszeit t. Dafür benutzen wir ein Signalglied f(x) mit F=t.
• Wir konfigurieren die neuen Modellelemente so, dass ein vorgegebener Spannungsgrenzwert unabhängig vom Auf- oder Entladen von der Stoppuhr erfasst wird.

Hinweise:

• Damit der exakte Zeitwert auch in den Signalverläufen protokolliert wird, muss man in der Simulationssteuerung die Protokollierung von Ergebnissen anpassen:
  
• Den Ereigniszeitpunkt könnte man im Signalverlauf von Stoppuhr.y ausmessen:
  
• Einfacher ist es bei einem konstantem Endwert, diesen im Modellexplorer abzulesen:
  
• Der dargestellte Zeitpunkt entspricht einer Entladung auf 50%!

Frage 1:

Zu welchem Zeitpunkt t wird für das Beispiel exakt eine Kondensatorspannung von 75% des Anfangswertes beim Entladen erreicht?

Zusammenfassung

Am Beispiel von Auf-/Entladevorgängen eines elektrischen Kondensators haben wir Erfahrungen zum Prozess der Dynamiksimulatiom elektrischer Netzwerke gesammelt.

Daraus kann man folgende Verallgemeinerungen ableiten:

1. Numerische Modelle nutzt man als Ersatzobjekte, um damit Erkenntnisse über die Originalobjekte zu gewinnen.
2. Simulationen führt man durch, um mit Modellen die gewünschten Erkenntnisse zu gewinnen.
3. Modell-Experimente benutzen speziell konfigurierte Modell-Versuchsstände, um damit zielgerichtet bestimmte Fragen zu beantworten.
4. Modell-Versuchsstände enthalten das Modell des zu untersuchenden realen Objekts und ein Modell der Experiment-Umgebung (z.B. zur automatisierten Experiment-Auswertung).

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