Software: OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette: Unterschied zwischen den Versionen

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* Nach '''''Projekt - Start''''' erfolgt die Simulation der Stichprobe und die Verteilungsdichten der gewählten Größen werden dargestellt. Leider kann man anhand der dargestellten Grenzwerte von Schlussmaß_M0 nur näherungsweise die tatsächlichen Grenzen abschätzen. OptiY schneidet Werte der Dichtefunktion ab, die kleiner als 1/100 ihres Maximalwertes sind:  
* Nach '''''Projekt - Start''''' erfolgt die Simulation der Stichprobe und die Verteilungsdichten der gewählten Größen werden dargestellt. Leider kann man anhand der dargestellten Grenzwerte von Schlussmaß_M0 nur näherungsweise die tatsächlichen Grenzen abschätzen. OptiY schneidet Werte der Dichtefunktion ab, die kleiner als 1/100 ihres Maximalwertes sind:  
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* Mittels '''''Analyse - Verteilungstabelle''''' erhält man Stützstellen der Verteilungsfunktion aller Bewertungsgrößen für den Wertebereich von 0 bis 1 aufgelistet. In der ersten und letzten Zeile dieser Tabelle findet man die gesuchten Grenzen für das Schlussmaß:
* Mittels '''''Analyse - Verteilungstabelle''''' erhält man Stützstellen der Verteilungsfunktion aller Bewertungsgrößen (Restriktionen und Kriterien) für den Wertebereich von 0 bis 1 aufgelistet. Da wir keine Restriktionen oder Kriterien im Workflow definierten, ist die Verteilungstabelle leider leer. Wir ergänzen deshalb unseren Workflow um eine Restriktionsgröße "_Schlussmaß_M0":
** Der Wert dieser Restriktionsgröße wird über den Formel-Ausdruck aus der Transfervariablen "Schlussmaß_M0" berechnet.
** Die Restriktionsgrenzen für '''_Schlussmaß_M0''' setzt man weit außerhalb möglicher Werte, damit diese Restriktion nicht wirkt.
** '''Achtung:''' Das Schlussmaß wurde nicht als Gütekriterium definiert, weil bei einer späteren Optimierung immer versucht würde, die Werte der Gütekriterien zu minimieren. Das wäre nicht im Sinne einer Toleranzoptimierung und würde diese empfindlich stören!
** In der ersten und letzten Zeile der Verteilungstabelle findet man nun die gesuchten Grenzen für das Schlussmaß:
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* Bis auf geringe Rundungsfehler haben entspricht dies den Werten der klassischen Maximum-Minimum-Methode.
* Bis auf geringe Rundungsfehler haben entspricht dies den Werten der klassischen Maximum-Minimum-Methode.

Version vom 3. Juli 2008, 13:22 Uhr

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Aufgabenstellung

Am Beispiel einer einfachen Maßkette soll gezeigt werden, welche neuen Möglichkeiten die probabilistische Simulation im Vergleich zu klassischen, analytischen Methoden eröffnet:

Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette anordnung.gif

Das Schlussmaß M0 ergibt sich aus der Gesamt-Abmessung M1 abzüglich der Teilmaße M2 und M3.


Vorgegeben:

  • als Ausgangslösung stehen folgende Maße in der Maßkette:
    • M1= 11,8-0,2
    • M2= 1,3-0,1
    • M3= 1,5±0,05
  • diese Ausgangslösung besitzt also die Toleranzmittenmaße Ci mit den Toleranzen Ti:
    • C1=11,70 mit T1=0,2
    • C2=  1,25 mit T2=0,1
    • C3=  1,50 mit T3=0,1


Gesucht:

  • das Nennmaß des Schlussmaßes N0
  • Toleranzmittenabmaß des Schlussmaßes Ec0
  • Toleranz T0 des Schlussmaßes
  • eine Aussage, ob mit der ermittelten Toleranz T0 die geforderte Toleranz T0_Max des Schlussmaßes eingehalten wird
  • günstigere Toleranzen für die Maßglieder der Toleranzkette, um die zulässige Toleranz des Schlussmaßes eventuell voll auszuschöpfen oder die Fertigung kostengünstiger zu gestalten.

Workflow-Modell der Maßkette

Nach dem Start von OptiY erscheint ein leerer Workflow, den wir nun nutzen, um darauf das Modell der Maßkette zu beschreiben. Dafür einleitend einige Erläuterungen zur Abbildung der toleranzbehafteten Maße auf die Entwurfsparameter (Nennwerte und Streuungen) von OptiY:

  • Der zu einer OptiY-Streuung zugeordnete OptiY-Nennwert entspricht dem Toleranz-Mittenmaß C in der Begriffswelt der Maße. Man muss also beachten, dass ein OptiY-Nennwert nicht einem Nennmaß Ni innerhalb der Maßkette entspricht!
  • Die OptiY-Streuung Toleranz entspricht dem Wert der Maß-Toleranz T um das Toleranz-Mittenmaß.
  • Der aktuelle Wert eines Maßes Mi ist also immer die Summe aus dem Toleranzmittenmaß Ci und dem Istwert der Abweichung innerhalb der Streuung. Das wollen wir für jedes unserer drei Maße im Workflow beschreiben. Die Bedienung des Workflow-Editor wird in diesem Beispiel vorausgesetzt:
Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette als workflow.gif

Im Beispiel werden alle Workflow-Elemente mit ausführlichen Bezeichnern versehen. Für den erfahrenen Nutzer genügen später auch die Kürzel Ci, Ti und Mi. Die einzelnen Größen sind immer ausführlich zu kommentieren und mit der richtigen Maßeinheit zu versehen.

  • Toleranzmittenmaße (als Entwurfsparameter - Nennwerte):
    Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette eigenschaft nennwert.gif
    • Für die Toleranz-Analyse (Probabilistische Simulation einer Stichprobe) werden die Toleranzmittenmaße als Konstante angenommen.
    • Die aktuellen Istwerte des zugehörigen Maßes streut dann um diesen konstanten Wert.
  • Toleranzen (als Entwurfsparameter - Streuungen):
    Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette eigenschaft streuung.gif
    • Für die Toleranz-Analyse (Probabilistische Simulation einer Stichprobe) werden die Toleranzen als vorgegebene Konstante angenommen.
    • In Vorbereitung auf die Nachbildung der Maximum-Minimum-Methode wurde eine Gleichverteilung für den aktuellen Maßwert angenommen.
  • unabhängige Maße (als Transfervariablen):
    Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette eigenschaft transfer.gif
    • Transfer-Variablen bieten die Möglichkeit, ihren Wert über eine Formel zu berechnen.
    • Der aktuelle Ist-Wert eines jeden unabhängigen Maßes Mi berechnet man aus der Summe von Toleranzmittenmaß Ci und aktueller Maßabweichung im Rahmen des Toleranzbereiches Ti:
      Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette eigenschaft transferausdruck.gif
    • Den erforderlichen Formel-Ausdruck bearbeitet man im OptiY-Workflow mit dem Rechner:
      Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette eigenschaft transferrechner.gif
  • Schlussmaß (als Transfervariable):
    • Normalerweise definiert man Ergebnisgrößen innerhalb des OptiY-Workflows als Restriktionen oder Gütekriterien. Da im Rahmen einer angestrebten Toleranzoptimierung das Schlussmaß noch für die Formulierung von Gütekriterien benötigt wird, muss man eine Transfervariable benutzen. Restriktionen und Gütekriterien können leider in Formel-Ausdrücken anderer Workflow-Elemente nicht verwendet werden!
    • Das Schlussmaß M0 wird über einen Formel-Ausdruck aus allen unabhängigen Maßen Mi berechnet:
      Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette eigenschaft schlussmass-ausdruck.gif
    • Zum Bearbeiten dieses Ausdrucks benutzt man wieder den Rechner.

Maximum-Minimum-Methode

Diese Methode berücksichtigt bei der Berechnung der Schlussmaß-Toleranz die Worst-Case-Fälle und gewährleistet damit eine 100%-ige Einhaltung des Schlussmaßes.

Die klassische Maximum-Minimum-Methode berechnet folgende Größen des Schlussmaßes:

  • das Nennmaß N0 aus den unabhängigen Nennmaßen Ni
    • N0 = -1 • (1,5 + 1,3 - 11,8) = 9,0
  • das Toleranzmittenabmaß Ec0 aus den unabhängigen Toleranzmittenabmaßen Eci
    • Ec0 = -1 • (0 - 0,05 + 0,1) = -0,05
  • die Toleranz T0 ergibt sich infolge der linearen Kette aus der Summe der Einzeltoleranzen Ti
    • T0=0,2+0,1+0.1=0,4
  • Damit ergibt sich das Schlussmaß M0=8,95±0,2


Software OptiY-Workflow experiment umbenennen.gif

Zum gleichen Ergebnis gelangt man mit der probabilistischen Simulation der Maßkette, wenn man jedes unabhängige Maß als gleichverteilt betrachtet. Die Elemente der Maßkette wurden beim Aufbau des OptiY-Workflows bereits richtig konfiguriert.

Die probabilistische Simulation der Maßkette ín Anlehnung an die Maximum-Minimum-Methode soll nun das erste Experiment sein, welches wir mit dem Workflow-Modell durchführen:

  • Wir werden noch mehrere Experimente in diesem OptiY-Versuchsstand durchführen. Deshalb sollte man über das Kontextmenü (Rechter Mausklick) das Experiment Umbenennen in Maximum-Minimum.
  • Als "Optimierungsverfahren" wählen wir die "Simulation".
    • Da Streuungen im Workflow-Modell existieren, handelt es sich hier um eine probabilistische Simulation unter Berücksichtigung der Toleranzen.
    • Praktisch entspricht dies der Simulation einer Stichprobe.
      Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette optverfahren simulation.gif
      Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette versuchsplanung.gif
  • Nach welchem Verfahren die probabilistische Simulation durchgeführt wird, konfiguriert man in der statistischen Versuchsplanung:
    • Für den einfachen linearen Zusammenhang ist eine Moment-Methode das genaueste und effizienteste Verfahren.
    • Es soll vorläufig als Ersatzfunktion M0=f(T1,T2,T3) eine Taylorreihe zweiter Ordnung genutzt werden.
    • Man sollte immer mit der Berücksichtigung von Interaktionen zwischen den Toleranzgrößen beginnen. Nur so kann man feststellen, ob wirklich Wechselwirkungen zwischen den Toleranzgrößen existieren.
  • Mittels Analyse - Verteilungsdichte öffnen wir ein Grafikfenster und ziehen per Drag&Drop die Toleranzen und das Schlussmaß aus dem OptiY-Explorer in dieses Fenster.
  • Nach Projekt - Start erfolgt die Simulation der Stichprobe und die Verteilungsdichten der gewählten Größen werden dargestellt. Leider kann man anhand der dargestellten Grenzwerte von Schlussmaß_M0 nur näherungsweise die tatsächlichen Grenzen abschätzen. OptiY schneidet Werte der Dichtefunktion ab, die kleiner als 1/100 ihres Maximalwertes sind:
Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette max-min-verteilungsdichten.gif
  • Mittels Analyse - Verteilungstabelle erhält man Stützstellen der Verteilungsfunktion aller Bewertungsgrößen (Restriktionen und Kriterien) für den Wertebereich von 0 bis 1 aufgelistet. Da wir keine Restriktionen oder Kriterien im Workflow definierten, ist die Verteilungstabelle leider leer. Wir ergänzen deshalb unseren Workflow um eine Restriktionsgröße "_Schlussmaß_M0":
    • Der Wert dieser Restriktionsgröße wird über den Formel-Ausdruck aus der Transfervariablen "Schlussmaß_M0" berechnet.
    • Die Restriktionsgrenzen für _Schlussmaß_M0 setzt man weit außerhalb möglicher Werte, damit diese Restriktion nicht wirkt.
    • Achtung: Das Schlussmaß wurde nicht als Gütekriterium definiert, weil bei einer späteren Optimierung immer versucht würde, die Werte der Gütekriterien zu minimieren. Das wäre nicht im Sinne einer Toleranzoptimierung und würde diese empfindlich stören!
    • In der ersten und letzten Zeile der Verteilungstabelle findet man nun die gesuchten Grenzen für das Schlussmaß:
Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette verteilungstab1.gif Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette verteilungstab2.gif
  • Bis auf geringe Rundungsfehler haben entspricht dies den Werten der klassischen Maximum-Minimum-Methode.


Das Ergebnis der Maximum-Minimum-Methode bedeutet:

Bei den vorgegebenen Fertigungsgenauigkeiten liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% das Schlussmaß innerhalb der Grenzen 8,95±0,2.

Wahrscheinlichkeitsbasierte Methode

Der Vorteil der probabilistischen Simulation ist die Anschaulichkeit der grafischen Ergebnisdarstellung:

  • So gibt es bei vielen Betrachtern sicher ein gewisses Aha-Erlebnis, dass trotz gleichverteilter Einzelmaße das Schlussmaß im Prinzip einer Normalverteilung entspricht.
  • Es zeigt sich z.B. eine Häufung des Schlussmaßes in der Nähe des Toleranzmittenmaßes.
  • Nur ein geringer Prozentsatz einer Stichprobe liegt mit dem Schlussmaß in der Nähe der Grenzwerte.


An dieser Erkenntnis setzt die wahrscheinlichkeitsbasierte Methode der Toleranzrechnung an:

  • Alle unabhängigen Maße streuen um ihr Toleranzmittenmaß mit einer Verteilungsfunktion, welche von unterschiedlichsten Einflussgrößen abhängt.
  • Im Normalfall oder bei mangelhafter Kenntnis der Verteilungsfunktionen kann man von einer Normalverteilung ausgehen.
  • Die Verteilungsfunktion des Schlussmaßes ist abhängig von der Struktur der Maßkette und den Verteilungsfunktionen der Einzelmaße.


Für lineare Ketten kann man die Toleranz T0 des Schlussmaßes analytisch berechnen:

  • Der Streuungskoeffizient ki der Einzelmaße ist abhängig von der Verteilungsfunktion (0,333 für Normalverteilung).
  • Der Risikofaktor t für die Toleranz des Schlussmaßes ist abhängig davon, wieviel Prozent der Stichprobe im berechneten Toleranzbereich liegen sollen. Dabei wird die Studentverteilung zugrunde gelegt:
  • Bei vorgegebener Ausfallwahrscheinlichkeit (im Beispiel 0,3%, was T0=6•σ entspricht), kann man über einen Web-Rechner der Uni Saarland nach Wahl des Ausfallbereiches, der Angabe eines großen Wertes df=1000000 und der Wahrscheinlichkeit des Ausfalls von z.B. 0.003 den exakten Wert von t=2.968 erhalten:
    Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette studentverteilung.gif


  • Die Toleranzbreite T0 berechnet man mit diesen Werten:
[math]\displaystyle{ T_0=2{,}968 \cdot \sqrt{(0{,}333 \cdot 0{,}1 )^2+(0{,}333 \cdot 0{,}1)^2+(0{,}333 \cdot 0{,}2)^2}=0{,}2421 }[/math]
  • Damit ergibt sich das Schlussmaß zu M0= 8,95±0,121 (normalverteilt).

Das bedeutet:

Bei gleichen Fertigungsgenauigkeiten wird eine reduzierte Schlussmaß-Toleranz erreicht! Es wird mit 99,7% Wahrscheinlichkeit im Beispiel ein Schlussmaß innerhalb der Grenzen 8,95 ± 0,12602 eingehalten.

Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette experiment dupl.gif


Das werden wir nun in einem weiteren Experiment mit unserem Workflow-Modell anschaulich nachvollziehen:

  • Dazu erstellen wir zuerst ein neues Experiment Wahrscheinlichkeit durch Duplizieren des Maximum-Minimum-Experiments (Kontextmenü der rechten Maustaste).
  • Diese Kopie des Experiments erhält durch anschließendes Umbenennen den gewünschten Namen.
  • Beim Kopieren werden der Workflow und alle Experiment-Einstellungen der Kopier-Vorlage übernommen. Die Darstellung der Ergebnisse muss man jedoch erneut mittels des Analyse-Menüs konfigurieren.
  • Für alle Einzel-Toleranzen wählen wir anstatt der Gleichverteilung die Normalverteilung:
Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette streuung normalverteilt.gif
  • Die anschließende Simulation ergibt eine Standard-Abweichung σ0=0,0408248 für das Schlussmaß:
Software OptiY-Workflow - Einfache Toleranzkette normal-verteilungsdichten.gif
  • Damit ergibt sich eine Toleranz T0 = 6•σ = 0,245 und das Schlussmaß zu M0= 8,95±0,1225. Die mit dem Workflow-Modell ermittelte Toleranz des Schlussmaßes weicht im Beispiel ungefähr 1% (ca. 3 µm) vom Wert des analytischen Ansatzes ab. Diese zu vernachlässigende Abweichung resultiert wahrscheinlich aus den Näherungen des analytischen Ansatzes, da OptiY die probabilistische Simulation mit den exakten Verteilungen durchführt.

Toleranz-Optimierung

Bisher haben wir nur eine Toleranz-Analyse durchgeführt. Dh., wir erhielten Aussagen, wie sich gegebene Toleranzen auf ein Schlussmaß auswirken. An eine Analyse sollte sich folgerichtig eine Optimierung der Toleranzkette anschließen. Diese kann unter Einbeziehung unterschiedlichster Anforderungen erfolgen, z.B.:

  • Bei vorgegebenem Schlussmaß sind die Einzelmaße so zu tolerieren, dass eine vorgegebene maximale Ausschussquote nicht überschritten wird.
  • Zusätzlich können Vorgaben und Wichtungen für die Tolerierung der Einzelmaße vorgenommen werden. Damit lassen sich sowohl Fertigungsrestriktionen als auch Fertigungskosten berücksichtigen.


Dafür werden wir ein neues Experiment mit einem erweiterten Workflow-Modell konfigurieren.