Software: FEM - Tutorial - Magnetfeld - Probabilistik - Monte-Carlo

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Probabilistische Simulation - Verfahren mit Zufallszahlen (Monte Carlo)

Es existieren verschiedene Verfahren, wie man durch "Würfeln" Verteilungsdichten über die Streubreite der Parameter nachbilden kann. Man spricht hierbei auch von Sampling-Verfahren. (Siehe "OptiY-Hilfe: Theoretische Grundlagen - Statistische Versuchsplanung - Sampling Verfahren). Wir werden uns hier auf das Rechenzeit-optimale Verfahren des Latin Hypercube Sampling beschränken.

Versuchsplanung

Das Latin Hypercube Sampling ist eine geeignete Sampling-Methode, um in unserem Beispiel mit akzeptablem Berechnungsaufwand hinreichend genaue und anschauliche Ergebnisse zu erhalten. Bei diesem Verfahren wird der gesamte Streubereich eines Parameters in Intervalle unterteilt. Innerhalb dieser Intervalle werden entsprechend der Verteilungsdichte Werte "erwürfelt":

• Der gewählte Stichprobenumfang von 50 ist ein guter Kompromiss um einen Eindruck von dieser Methode zu erhalten.
• Aus den mit dem Stichprobenumfang "erwürfelten" Werten der streuenden Parametern (hier die Luftspalte) und jeder daraus berechneten Ergebnisgröße des Modells (hier die Magnetkraft) wird nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate eine Übertragungsfunktion approximiert. Dafür werden Polynome frei wählbarer Ordnung genutzt. Der Wert=2 für die Approximationsordnung ist im Beispiel wahrscheinlich ein ausreichender Wert.
• Der Zufallsgenerator soll im Beispiel Zufallszahlen in Abhängigkeit von der aktuellen Computer-Zeit liefern, d.h. bei jedem Experiment werden, wie in der Realität, etwas andere Ergebnisse entstehen!
• Alle Analyse-Diagramme zur Bewertung der probabilistischen Simulationsergebnisse werden bei den Sampling-Methoden nicht auf Basis der wirklich berechneten Stichprobe generiert. Eine virtuelle Stichprobe wird auf Grundlage der zuvor approximierten Übertragungsfunktionen (= Ersatzmodell für das originale Simulationsmodell) generiert. Welche Punkte dieses Ersatzmodells benutzt werden, wird jedoch ebenfalls mit der gewählten Sampling-Methode "erwürfelt" (im Beispiel "Latin Hypercube"). Mit virtuellen Stichproben erhält man anschaulichere, "geglättete" Darstellungen auch bei einem kleinen realem Stichprobenumfang. Außerdem erspart man sich die aufwändige erneute Berechnung der realen Stichprobe bei einer Veränderung der Analyse-Bedingungen, z.B. bei Veränderung von Toleranz-Breiten.

Achtung:
Falls es noch nicht geschehen ist - man muss "Simulation" als Optimierungsverfahren wählen! Damit wird nur eine Stichprobe auf Basis der Versuchsplanung berechnet:

Analyse

Reale Stichprobe

Alle Exemplare der realen Stichprobe werden auf Grundlage des Experiment-Workflows berechnet:

• Jedes Exemplar der Stichprobe ist gekennzeichnet durch seine konkreten Parameter-Werte (Nennwerte und Istwerte der Streugrößen) und die daraus resultierenden konkreten Bewertungsgrößen (Kriterien / Restriktionen).
• Bei der Abarbeitung des Workflows werden die in den Workflow eingebundenen Simulationsmodelle berechnet, was sehr zeitaufwändig sein kann.
• Die reale Stichprobe wird nur berechnet bei einem Start des Experiments bzw. dessen Weiter-Führung nach Stopp.

Histogramm

Bei der Nutzung von Sampling-Verfahren kann man bereits während der Simulation den Verlauf des Experiments beobachten:

• Wie in der Realität wird aus der gesamten Stichprobe ein Modell-Exemplar nach dem nächsten untersucht.
• Die generierten Werte der streuenden Parameter und die Ergebnisgrößen (Gütekriterien und Restriktionen) werden für jede einzelne Modellrechnung dargestellt, wir wollen das beispielhaft in Histogrammen beobachten (Analyse - Histogramme - Streuungen und Kraft mit Drag &  Drop in Diagrammfenster ziehen):
  
• Erst am Ende der gesamten Stichproben-Simulation wird die Darstellung der real berechneten Stichprobe durch eine virtuelle Stichprobe ersetzt. Diese wird auf Basis der approximierten Übertragungsfunktionen zwischen den Streuungen und den konkreten Ergebnisgrößen ermittelt:
  Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy histogramm virtuell.gif
• Man spricht auch von der "Response Surface Methode" (RSM) = Antwortflächen-Methode, weil die Ersatzfunktionen wie Flächen über dem Paramterraum aufgespannt sind. Diese Funktionsflächen liefern ersatzweise die Systemantwort für die eingespeiste Parameter-Kombination.
• Auf die Ersatzfunktionen wird die gleiche Sample-Methode angewandt, wie zuvor auf das Originalmodell.
• Der Umfang einer virtuellen Stichprobe kann sehr groß gewählt werden, da die Ersatzfunktionen um Größenordnungen schneller als die Originalmodelle rechnen.
• Damit können statistischen Aussagen zu den Ersatzfunktionen praktisch mit beliebiger Genauigkeit gewonnen werden.

Residuum Plot

• Eigentlich interessieren den Anwender nicht die Aussagen zur Ersatzfunktion, sondern die Eigenschaften des zu untersuchenden Originals. Die Genauigkeit der statistischen Aussagen in Bezug auf das Originalmodell wird überwiegend durch die Genauigkeit der Approximationsfunktionen bestimmt.
• Die Residuen der Ausgleichsrechnung für eine vorliegende reale Stichprobe zeigen nur, wie genau die Ausgleichsfläche in die vorhandene "Punktwolke" berechneten realen Exemplare passt (Analyse - Ausgleichsfläche - Residuum Plot mit Drag&Drop von Kriterium/Restriktion):
  

• Residuen sind die absolute Differenzen zwischen den "echten" Modellberechnungen und den aus dem Ersatzmodell berechneten Punkten. Im Diagramm kann man den Betrag der maximalen Differenz erkennen. Die Residuen geben damit die Qualität der Approximation an die berechnete Punktwolke wieder. Bei einem Mittelwert der Magnetkraft von 6.33 N sind im Beispiel Abweichungen von kleiner 0.05 N wahrscheinlich vernachlässigbar!
• Informationen zur Genauigkeit bzw. Sinnfälligkeit der Ausgleichsfläche in den Zwischenräumen der Punktwolke sind damit nicht zu gewinnen.

DOE-Tabelle

Alle Werte der realen Stichproben-Exemplare werden in der DOE-Tabelle aufgelistet:

• DOE="Design of Experiments" (Versuchsplanung).
• Listet für jede Modellrechnung der echten Stichprobe (=1 Zeile) in den Spalten alle im Workflow definierten Größen auf.
• Wenn man innerhalb dieser Tabelle eine Zeile auswählt (= Exemplar der Stichprobe), so wird der zugehörige Punkt in den im folgenden beschriebenen Anthill-Plots hervorgehoben und es werden daneben die "Koordinatenwerte" eingeblendet .
• Über die Menü-Funktion Datei - Daten Export kann man diese umfangreichen Datensätze der DOE_Tabelle bei Bedarf in einer Excel-Datei weiter verarbeiten:
  

Virtuelle Stichprobe

Anthill-Plot (2D)

• Die X- und Y-Achse sind frei belegbar mit den im Workflow definierten Größen.
• Jedes Exemplar der virtuellen Stichprobe wird durch einen Punkt repräsentiert:
  Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy anthillplot 2da.gif Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy anthillplot 2db.gif Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy anthillplot 2dc.gif
• Gibt es störende Ausreißer in den Plots, so kann man diese im Diagramm ausblenden. Dazu schaltet man die Autoskalierung für das entsprechende Diagramm ab und wählt engere Grenzen für die betroffene Koordinatenachse.
• Je mehr die Punktwolke in einem dieser Scatter-Plots sich der Form einer Geraden annähert, desto stärker korrelieren die Werte der beiden dargestellten Größen. Im Beispiel korreliert die Magnetkraft am stärksten mit dem Arbeitsluftspalt.

Anthill-Plot (3D)

• Es besteht auch die Möglichkeit, die Abhängigkeit einer Ergebnis-Größe (z.B. der Magnetkraft) von zwei Streu-Größen darzustellen.
• Jedes Exemplar der virtuellen Stichprobe wird ebenfalls durch einen Punkt repräsentiert:
  
• Die X-, Y- und Z-Achsen dieses 3D-Scatter-Plot sind frei belegbar mit den im Workflow definierten Größen.
• Im obigen Beispiel wurde die Kraft als Funktion des Ankerluftspalts und des Führungsspalts dargestellt.

Korrelationsmatrix

===>>> Hier geht es bald weiter!

Script vom vorigen Jahr siehe: http://www.ifte.de/lehre/cae/fem/06_magnet/optiy_prob_monte_carlo.html

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