Software: FEM - Tutorial - Magnetfeld - Probabilistik - Kennfeld-Identifikation

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Identifikation von Ersatzmodellen

(OptiY-Version ab 26.06.2009 erforderlich!)

Die Kraft- und Koppelfluss-Kennfelder eines E-Magneten kann man in Modellen zur System-Simulation als Ersatz-Modell für eine konkrete Wandler-Geometrie benutzen:

1. Die Ergebnisse der Rastersuche kann man als Daten exportieren und die berechneten Abtaststellen der Felder als Stützstellen von 3D-Funktionsflächen in der System-Simulation verwenden. Aus diesen Stützstellen werden in der System-Simulation die Funktionswerte der Zwischenräume interpoliert.
2. Die in der probabilistischen Simulation als Ersatzmodelle generierten Übertragungsfunktionen kann man auch direkt in Modelle der System-Simulation implementieren. Die Gewinnung von Ersatzmodellen nach diesem Prinzip wollen wir abschließend in diesem Übungskomplex durchführen.

Ausgehend vom Raster-Experiment Kennfeld-Berechnung konfigurieren wir nach dem Duplizieren ein Experiment Kennfeld-Identifikation.

Workflow

Wir werden die probabilistische Simulation benutzen, um über den gesamten Arbeitsbereich unseres E-Magneten die Antwortflächen für F(i,s) und Psi(i,s) bilden zu lassen:

• Die Toleranzen der Streu-Größen umfassen den gesamten Arbeitsbereich:

#i.Toleranz=10 A

#s.Toleranz= 4 mm

• Die Toleranz-Mittenwerte (Nennwerte und aktuellen Werte der Streu-Größen) sind so zu wählen, dass numerisch instabile Werte nahe Null vermieden werden:

i.Startwert=5.01 A (i≥0.01 A)

s.Startwert=2.02 mm (s≥0.02 mm)

• Die Gleichverteilung innerhalb der Streu-Bereiche gewährleistet eine gleichmäßige Abtastung, falls man eine Sample Methode verwendet.

Versuchsplanung

Wir werden das Experiment so konfigurieren, dass wir möglichst anschaulich erkennen, wie genau die approximierten Antwortflächen die wirklichen Übertragungsfunktionen des Modells abbilden:

• Grundlage für die Berechnung der Antwortfläche soll das Full Factorial Design sein, welches praktisch einer Rastersuche entspricht. Wir wählen dafür 6 Stufen, um die Anzahl der Modellberechnungen mit 36 gering zu halten.
• Ein virtueller Stichprobenumfang=10000 zeigt uns im 3D-Anthill-Plot qualitativ die Lage der real berechneten Stichprobe in Bezug zur approximierten Antwortfläche.

Approximation mit Polynom-Ansatz

• Wir verwenden zuerst die bereits genutzte polynomiale Approximation und beginnen mit der Approximationsordnung=1.
• Nach Abschluss der Simulation liegen die Antwortflächen als Ebenen im i-s-Raum vor.
• Schrittweises Erhöhen der Approximationsordnung mit anschließendem Neuberechnen der Antwortflächen und der virtuellen Stichprobe führt zu einer optimalen Anpassung der Antwortflächen, welche jedoch mit höhere Approximationsordnung wieder schlechter wird.

Achtung: Ein Rücksetzen des Experiments mit erneuter Berechnung der realen Stichprobe ist dabei nicht erforderlich!

Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy feld-ident-polynom flaeche.gif Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy feld-ident-polynom anthill.gif

Ein Drehen des 3D-Anthill-Plots zeigt deutlich die Lage der realen Modellwerte abseits der Antwortfläche. Besonders stark sind die Abweichungen bei der Kombination von minimalem Luftspalt mit minimalem Strom.

• Das Residuum-Plot zeigt quantitativ die Abbweichungen der realen Modellberechnungen von den identifizierten Antwortflächen. Bei der Magnetkraft liegt diese Abweichung überwiegend im Bereich von ca. 10%, was für ein Ersatzmodell häufig noch akzeptiert werden kann:

Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy feld-ident-residuen.gif

• Nicht akzeptabel ist jedoch, dass die Ersatzfunktionen im Bereich kleiner Ströme zu negativen Kraftwerten führen, was physikalisch nicht korrekt ist!

Schlussfolgerung:
Polynom-Ansätze sind für die Bildung von globalen Ersatzmodellen bei nichtlinearem Übertragungsverhalten nicht besonders gut geeignet.

Approximation mit Gauss-Prozess

Der Gauss-Prozess, angewandt in der Geostatistik auch als Kriging bekannt, ist ein statistisches Verfahren, mit dem man Werte an Orten, für die keine Probe vorliegt, durch umliegende Messwerte interpolieren oder auch annähern kann.

Der Gauss Prozess besteht aus einem globalen Modell f(x) und einem stochastischen Prozess Z(x), welcher die Abweichung von dem globalen Modell darstellt:

• x ist ein m-dimensionaler Parametervektor.
• Y(x) ist der Ergebnisvektor für den Punkt x im Parameterraum.
• f(x) sind Polynome beliebiger Ordnung, welche zusammen mit den unbekannten Regressionskoeffizienten β_i die Regressionsfunktion bilden.
• Z(x) ist ein stationärer stochastischer Prozess mit dem Mittelwert Null, der Varianz σ und der Covarianz R. Dieser Anteil des Gauss Prozesses beschreibt das 95% Erwartungsintervall für jeden Punkt x des Parameterraumes.

In dem englischen Wikipedia-Artikel zum Kriging wird das für die Interpolation einer eindimensionale Funktion sehr anschaulich dargestellt:

Die berechneten Grenzverläufe des Erwartungsintervalls werden wesentlich bestimmt durch das Erfahrungswissen in Hinblick auf den erwartenden Verlauf der zu interpolierenden Funktion zwischen den bekannten Werten der Stichproben-Exemplare. Diese Erwartung wird durch die Wahl einer geeigneten Covarianz-Funktion beschrieben:

• In OptiY sind unterschiedlichste Covarianz-Funktionen ímplementiert.
• Diese beschreiben den Verlauf des 95% Erwartungsintervalls zwischen den Stützstellen in Abhängig von deren Dichte.
• Wird näherungsweise eine möglichst glatter Verlauf für die zu interpolierende Ersatzfunktion erwartet, so ist dafür der Typ Square Exponential optimal geeignet:
  Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy formel covarianz-funktion.gif
• Der "Schlauch" des Erwartungsintervalls wird dabei (wie im obigen Bild) auch bei größeren Abständen zwischen den Stützstellen relativ schmal.

Die Regressionskoeffizienten β_i werden so bestimmt, dass die resultierende Regressionsfunktion den Mittelwert innerhalb der Streuung des stochastischen Prozesses Z(x) ergibt:

• Der Typ des für das globale Modell f(x) gewählten Funktionsansatzes ist abhängig vom der zuvor gewählten Covarianz-Funktion.
• Über die Ordnung des globalen Modells kann man einen Kompromiss finden zwischen bester Anpassung der interpolierten Funktion an vorhandene Stützstellen und optimalem Verlauf zwischen diesen Stützstellen.

Dieses Prinzip der Bildung von Ersatzmodellen (Antwortflächen) werden wir nun auf unser Kennfeld-Problem anwenden. Wir nutzen dafür das bereits konfigurierte Experiment Kennfeld-Identifikation ohne erneute Berechnung der Stichprobe:

===>> Hier geht es bald weiter !!!

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