Software: FEM - Tutorial - Magnetfeld - C-Kennfeld Differentierbarkeit

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Differentierbarkeit von Antwortflächen

(Kein Bestandteil der Lehrveranstaltung FEM )

Die Hinweise zur Wahl der Polynomordnung und einer geeigneten Covarianz-Funktion führen in der Systemsimulation nur dann zu nutzbaren Ersatzmodellen, wenn keine numerischen Ableitungen von den identifizierten Kennfeldern benötigt werden:

• Die Differentierbarkeit der Funktion F(i,s) ist in diesem Sinne unkritisch. Die Beschleunigung a~F stellt die physikalische Größe mit der höchsten Ableitung in der mechanischen Domäne dar. Alle anderen mechanischen Größen ergeben sich durch numerische Integration, welche eventuelle Knicke und Welligkeiten des Kraft-Kennfeldes glättet.
• Dies trifft für den Koppelfluss Psi(i,s) leider nicht zu. Knicke und Welligkeiten dieses Kennfeldes führen zu undefinierten Sprüngen und Richtungsänderungen der an der Spule berechneten induzierten Spannung u_ind=dPsi/dt. Eine Bewertung der Differenzierbarkeit der Antwortflächen im OptiY ist (zur Zeit) nur visuell und damit nur sehr eingeschränkt möglich. Es soll deshalb im Folgenden gezeigt werden, wie man das Kennfeld-Testmodell um solch eine Bewertung mit geringem Aufwand ergänzen kann.

Die Differenzierbarkeit einer Funktion mit mehreren Variablen wird am Besten durch die Bildung des totalen Differentials erfasst:

• Im Beispiel benötigen wir in der Systemsimulation nur die zeitliche Ableitung dPsi/dt.
• In unserem Testmodell durchlaufen wir für einen vorgebenen Luftspalt s den Strombereich, indem wir i=t setzen (t=0..10 s).
• Die numerische zeitliche Ableitung u_ind = der(Psi) entspricht demzufolge im Testmodell der partiellen Ableitung dPsi/di.
• Es ist zwar relativ einfach, durch Benutzung von Differenzenquotienten die vorhandene Kennfeld-Funktion abzutasten und daraus das totale Differential zu bilden. Im Rahmen der Übung begnügen wir uns jedoch aus Aufwandsgründen mit der Berechnung von u_ind als zeiliiche Ableitung von Psi (im Bild des TypDesigners farblich markiert):

• Die Berechnung des totalen Differentials wurde für Interessenten mit dargestellt. Außerdem sollte damit hier im Vergleich gezeigt werden, dass im Beispiel die zeitliche Ableitung bereits die gewünschten Informationen liefert:
  
• Die Diagramme (links s=30 µm / rechts s=4 mm) zeigen für die Polynomordnung=0 und Covarianz-Funktion Exponential starke Sprünge. Diese entstehen infolge der Kennfeld-Knicke an den Stützstellen.
• Teilweise können dadurch auch negative Werte für die induzierte Spannung resultieren.
• Die mangelnde Qualität dieser Kennfeld-Funktion widerspiegelt sich in der vereinfachten zeitliche Ableitung ähnlich wie im totalen Differential.
• Im Beispiel wurde mit dieser Kennfeldfunktion physikalischer Unsinn in einem SimulationX-Magnetmodell berechnet bzw. der Solver verweigerte den Dienst!

Belässt man die Polynomordnung=0 und ändert die Covarianz-Funktion z.B. zu Square Exponential, so erhält man stetige Ableitungen:

• Jedoch könnten die Welligkeiten insbesondere bei kleineren Luftspalten noch zu negativen Induktionsspannungen führen.
• Die Frequenz der Welligkeit wird durch die Abstände zwischen den berechneten Stützstellen bestimmt und ist physikalisch nicht korrekt.
• Mittels "Durchprobieren" der unterschiedlichen Covarianz-Funktionen kann man versuchen, eine Variante mit minimaler Welligkeit zu finden.
• Ein Psi-Kennfeld ähnlicher Qualität liefert z.B. auch die Covarianz-Funktion Gamma Exponential mit der Polynomordnung=0:
  

Welche Covarianz-Funktion im Zusammenspiel mit welcher Polynomordnung ein Optimum darstellt, muss individuell für jede zu identifizierende Antwortfläche erprobt werden:

• Im Beispiel erwiesen sich nach vielen Versuchen folgende Kombinationen als günstig:

1. F-Kennfeld: Polynomordnung=2 / Covarianz=Exponential
2. Psi-Kennfeld: Polynomordnung=2 / Covarianz=Gamma Exponential

• Die Anwendung des adaptiven Gauss-Prozesses ist meist erforderlich, weil ein gleichmäßiges Grundraster die kritischen Stellen mit großer Wahrscheinlichkeit nicht hinreichend dicht abtastet.
• Durch automatisches Hinzufügen weiterer Abtastpunkte (Berechnungen des FE-Modells), gelang es die folgende Psi-Kennfeldgüte zu erreichen:
  

Die Auswirkung der unterschiedlichen Psi-Kennfelder auf das Verhalten eines dynamischen Magnetmodells wird im folgenden Bild durch die Anwendung zweier Kennfelder demonstriert:

• Der eingefrorene (blasse) Signalverlauf wurde mit dem Kennfeld des adaptiven Gauss-Prozesses simuliert.
• Darüber liegt das Verhalten, welches aus dem einfachen Gauss-Prozess mit Covarianz-Funktion Square Exponential resultiert:
  
• Die Ergebnisse unterscheiden sich in Hinblick auf das Zeitverhalten um ca. 20%, was nicht vernachlässigbar ist!

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