Software: FEM - Tutorial - Magnetfeld - C-Kennfeld Adaptiver Gauss-Prozess

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Adaptiver Gauß-Prozess

Der adaptive Gauss-Prozess soll genutzt werden, um ausgehend von einer vorhandenen Stichprobe mit möglichst wenigen zusätzlichen Stützstellen ein hochwertiges Ersatzmodell zu gewinnen. Dabei werden ausgehend von den vorhandenen Abtastpunkten nach Identifikation der Antwortflächen die Positionen der maximalen Unsicherheit und der maximal zu erwartenden Verbesserung ermittelt. Dort werden mit dem Modell zwei neue Stützstellen berechnet:

Dieser Prozess wird iterativ ausgeführt (bis max. Stützstellen-Zahl oder geforderte Genauigkeit erreicht):

Adaptiver Gauß-Prozess:

• Die erwartete Verbesserung EI ist das Potenzial zur Verbesserung der Approximationsgüte. Sie ist definiert mit

wobei Φ und ψ die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion der normalisierten Normalverteilung sind.

• Der adaptive Gauß-Prozess schlägt für die nächste Schleife der Modellberechnungen 2 Punkte im Entwurfsraum vor:
  1. Maximierung der erwarteten Verbesserung, um den optimalen Entwurf zu validieren
  2. Maximierung der Varianz σ, um die Unsicherheiten der Vorhersage zu minimieren
• Diese beiden Punkte werden anhand des aktuellen Gauß-Prozess-Ergebnisses durch Optimierung mittels einer Evolutionsstrategie berechnet.

Konfiguration

Durch Duplizieren des Experiments "Kennfeld-Identifikation" gewinnen wir ein neues Experiment "Kennfeld-adaptiv":

• Basis ist diesmal ein 2-stufiges Full Factorial Design, mit dem neben der Berechnung des Nennwertes nur eine Abtastung der vier Eckpunkte stattfindet.
• Als günstig für den Gauß-Prozess der beiden Antwortflächen (F und Psi) haben sich die einheitliche Polynomordnung=0 mit der Co-Varianzfunktion=Exponential bewährt und sollten deshalb weiterhin verwendet werden.
• Immer ausgehend vom Ergebnis des aktuellen Gauß-Prozessses sollen dann durch den adaptiven Gauß-Prozess die nächsten erforderlichen Stützstellen berechnet werden.
• Wir aktivieren in der Versuchsplanung des adaptive Design und blenden mittels "Standardparameter=False" die Standardeinstellungen ein. * Für die Identifikation der Parameter für die Gaussprozess-Funktion wird als Optimierungsverfahren die Evolutionsstrategie verwendet:
  

===>> Dieser Abschnitt wird zur Zeit überarbeitet!!!

Fortschritt

• Die zusätzlichen Abtaststellen befinden sich überwiegend im Bereich kleiner Ströme bei großem Luftspalt:
  
• Das 95%-Erwartungsintervall verringerte sich für beide Ersatzfunktionen beträchtlich:
  Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy adaptiver gaussprozess ord0 expo plus100.gif
• Leider wurde das Ersatzmodell dadurch in unserem Beispiel physikalisch nicht sinnvoller:

1. Es treten durch Welligkeiten zwischen den Stützstellen bei sehr kleinen Strömen auch negative Kräfte von bis zu ‑0,7 N auf.
2. Auch die Psi-Funktion besitzt erkennbare Welligkeiten.

• Der Abbruch des adaptiven Gaussprozesses erfolgt, wenn die vorgegebene Anzahl von Modellberechnungen oder die geforderte Genauigkeit erreicht wird. Im Beispiel wurde zuerst die geforderte Genauigkeit=5 erreicht.
• In unserem Beispiel war die Ausgangslösung mit dem 6x6-Raster der Stützstellen schon ziemlich genau. Deshalb konnte durch den adaptiven Gaussprozess qualitativ praktisch keine Verbesserung erreicht werden. Man erhält jedoch damit die Sicherheit, dass die gebildete Ersatzmodell eine hinreichende Genauigkeit besitzt.

Fazit

Insgesamt waren im Beispiel ca. 100 Modellberechnungen erforderlich, um ein verifiziertes Ersatzmodell mittels adaptivem Gaussprozess zu gewinnen:

• Dies entspricht einem globalen Raster von ungefähr 10x10 Abtastungen.
• Das engere Raster an "unsicheren" Stellen wird vom adaptiven Verfahren automatisch ermittelt.
• Man kann davon ausgehen, dass mit wesentlich weniger Modellberechnungen ein hochwertiges Ersatzmodell im aufgespannten Wertebereich nicht gebildet werden kann.
• Polynomordnung=0 und Co-Varianzfunktion=Exponential führen anscheinend zu einem relativ stabilen Gaussprozess. Der adaptive Prozess könnte mit diesen Parametern weitestgehend automatisch ablaufen.

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