Software: FEM - Tutorial - Diskretisierung - Ansatzfunktionen
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- Für die jeweilige Elementform werden nur die Potential-Werte ihrer Knoten-Punkte als so genannte Primär-Ergebnisse berechnet.
- Zusätzlich muss nun eine geeignete Funktion definiert werden, welche es ermöglicht, aus diesen Knoten-Potentialen für alle Punkte innerhalb des Elements einen eindeutigen (und sinnvollen) Wert zu berechnen (Sekundär-Ergebnisse).
- Man kann sich die Knoten als Stützstellen dieser Funktion vorstellen.
- Diese Funktion definiert man für Finite Elemente auf der Basis von Ansatzfunktionen.
- Von einer "Ansatzfunktion" spricht man, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt (Nach [1]):
- Die Funktion ist auf dem ganzen Element definiert.
- Jedem Knoten des Elements ist eine Funktion zugeordnet.
- Am Knoten hat diese Funktion den Wert=1, an allen anderen Knoten des Elements hat sie den Wert=0.
- Für jeden Punkt des Elements hat die Summe aller Funktionen den Wert=1.
- An gemeinsamen Kanten (oder Flächen) zu benachbarten Elementen haben die Funktionen gemeinsamer Knoten an jedem Punkt den gleichen Wert.
- Üblich für den Begriff "Ansatzfunktion" sind auch:
- Formfunktion (eng. form-function / shape-function)
- Interpolationsfunktion (engl. interpolation-function)
- Näherungsfunktion
Dies soll am Beispiel eines 1-dimensionalen Elements der Länge=1 für lineare Ansatzfunktionen verdeutlicht werden:
- Gegeben sind die Funktionswerte y1 und y2 an den Knoten des Stabes.
- Es werden zwei Ansatzfunktionen definiert
- h1(x)=1-x
- h2(x)=x
- Gewichtet mit den Knotenwerten y1 und y2 lautet die Elementfunktion
- y(x)=y1·h1(x)+y2·h2(x)
- y(x)=y1·(1-x)+y2·x
Analog ist die Vorgehensweise bei höherwertigen Ansatzfunktionen:
- Quadratische (=parabolische) Ansatzfunktionen erfordern in der Mitte des Stabes einen zusätzlichen Knoten.
- Es werden für den Stab drei Ansatzfunktionen entsprechend der Knotenzahl gebildet.
- Diese sind so formuliert, dass Sie obigen Bedingungen genügen.
- Kubische Ansatzfunktionen erfordern zwei Zwischenknoten auf dem Stab: