Software: FEM - Tutorial - Diskretisierung - Ansatzfunktionen

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Ansatzfunktionen

• Für die jeweilige Elementform werden nur die Potential-Werte ihrer Knoten-Punkte als so genannte Primär-Ergebnisse berechnet.
• Zusätzlich muss nun eine geeignete Funktion definiert werden, welche es ermöglicht, aus diesen Knoten-Potentialen für alle Punkte innerhalb des Elements einen eindeutigen (und sinnvollen) Wert zu berechnen (Sekundär-Ergebnisse).
• Man kann sich die Knoten als Stützstellen dieser Funktion vorstellen.
• Diese Funktion definiert man für Finite Elemente auf der Basis von Ansatzfunktionen.
• Von einer "Ansatzfunktion" spricht man, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt (Nach [1]):

1. Die Funktion ist auf dem ganzen Element definiert.
2. Jedem Knoten des Elements ist eine Funktion zugeordnet.
3. Am Knoten hat diese Funktion den Wert=1, an allen anderen Knoten des Elements hat sie den Wert=0.
4. Für jeden Punkt des Elements hat die Summe aller Funktionen den Wert=1.
5. An gemeinsamen Kanten (oder Flächen) zu benachbarten Elementen haben die Funktionen gemeinsamer Knoten an jedem Punkt den gleichen Wert.

• Üblich für den Begriff "Ansatzfunktion" sind auch:
  • Formfunktion (eng. form-function / shape-function)
  • Interpolationsfunktion (engl. interpolation-function)
  • Näherungsfunktion

Dies soll am Beispiel eines 1-dimensionalen Elements der Länge=1 für lineare Ansatzfunktionen verdeutlicht werden:

• Gegeben sind die Funktionswerte y₁ und y₂ an den Knoten des Stabes.
• Es werden zwei Ansatzfunktionen definiert

h₁(x)=1-x

h₂(x)=x

• Gewichtet mit den Knotenwerten y₁ und y₂ lautet die Elementfunktion

y(x)=y₁·h₁(x)+y₂·h₂(x)

y(x)=y₁·(1-x)+y₂·x

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