Software: FEM - Tutorial - 2D-Bauteil - Modal-Analyse

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Resonanz-Frequenzen mit fixiertem Lochrand

Im Vergleich zu unserer Modalanalyse mittels Autodesk Fusion soll unter gleichen Randbedingungen eine Modalanalyse mit Z88Aurora durchgeführt werden:

• Neues Projekt "FEM1_Z88c_xx" anlegen mit anschließender Wahl des Eigenschwingung-Moduls:
  
• Geometrie-Import "Lasche_xx.stp"
  Die STEP-Datei der Lasche dient erneut als Grundlage für die Vernetzung.
• Vernetzung
  Wir nutzen diesmal wieder Netgen für eine gleichmäßigere Vernetzung der Lasche mit Tetraedern (quadratisch) in drei Schichten.
• Abhaengigkeiten
  Fixierung der gesamten Fläche der Lochwand ohne zusätzliche Krafteinwirkung, um vergleichbare Ergebnisse zur Analyse im Autodesk Fusion zu erhalten:
  

Für die Modal-Analyse steht nur der Lanczos-Solver zur Verfügung, der über seine Solver-Parameter konfiguriert werden kann:

• Der Solver verwendet ein numerisches Verfahren, welches bereits 1950 von Cornelius Lanczos (ungarischer Mathematiker und Physiker) veröffentlicht wurde. Die Grundidee besteht darin, die Original-Matrix iterativ auf eine sogenannte Tridiagonalmatrix (Diagonalstrukur mit Bandbreite drei) zu reduzieren. Diese Tridiagonalmatrix benötigt auch bei vielen Freiheitsgraden nur wenig Speicher und kann effizient gelöst werden.
• Ausführliche Informationen zu den Solverparametern findet man im Theoriehandbuch (Seite 116-118).
• Wir verwenden dafür die Standardparameter mit Ausnahme der "Anzahl der Frequenzen", welche wir auf Grund unseres Vorwissens von 15 auf 8 reduzieren.

Auf einem Quad-Core-PC mit kompletter Auslastung aller CPU dauert die Berechnung ca. 8 Minuten:

Die berechneten Eigenfrequenzen unterscheiden sich augenscheinlich um ca. 10 % von den Ergebnissen der Modalanalyse im Autodesk Fusion. Deshalb sollte man zumindest mögliche Ursachen betrachten:

• Jede einzelne Iteration des Solvers lässt sich in zwei Phasen gliedern. Zunächst wird in Phase I jeweils eine (weitere) Zeile bzw. Spalte der Tridiagonalmatrix berechnet – also im Grunde nur drei Matrixwerte, denn alle vorher bereits bestimmten Einträge bleiben erhalten. In der Phase II werden die Eigenwerte dieser Matrix ermittelt.
• In Phase II ist mathematisch betrachtet kein Gleichungssystem zu lösen, sondern eine Eigenwertberechnung einer Systemmatrix durchzuführen, die sowohl Informationen über die Steifigkeits- als auch über Massenverteilungen bezüglich des FE-Netzes enthält. Die Eigenwertberechnung ist numerisch erheblich aufwendiger als die Lösung des Gleichungssystems und beansprucht in der Praxis entsprechend mehr Rechenzeit. Deshalb besitzt die Reduktion der Originalmatrix auf eine hinreichend genaue Tridiagonalmatrix eine entscheidende Bedeutung!
• Es ist davon auszugehen, dass im Autodesk Fusion das gleiche iterative Verfahren genutzt wird. Allerdings kann man dort, im Unterschied zum Z88Aurora, nur sehr gegrenzt Einfluss auf die erreichbare Genauigkeit nehmen ("normal" bzw. "10x genauer").

1. Anzahl der Iterationen: Hier kann eine Schranke eingestellt werden, nach der die iterative Phase I des Lanczos-Solvers abgebrochen wird. Diese Schranke dient in erster Linie dazu, bei Testrechnungen schon nach kurzer Zeit überprüfen zu können, ob das Modell wie gewünscht berechenbar ist. Wie immer bei iterativen Verfahren sind die Ergebnisse, die nach der maximalen Iterationszahl erzeugt wurden, mit Vorsicht zu genießen. In diesen Fällen kann noch nicht von einer Konvergenz gegen die korrekte Lösung gesprochen werden. "Nützlich" ist die Aussage, dass spätestens nach derjenigen Iterationszahl, die der Freiheitsgrad-Anzahl des Modells entspricht, die maximale Genauigkeit erreicht ist. Im Beispiel wären das ca. 200000! Als Standardwert für eine qualitativ sinnvolle Näherungslösung hat sich 20000 bewährt.
2. Residuum: Um die aktuelle Konvergenz zu messen, wird ein sogenanntes relatives Residuum benutzt. Es misst, um welchen Wert sich zwei aufeinanderfolgende Eigenwertapproximationen im Laufe der Iteration verändert haben. Für die gewünschte Anzahl kleinster Eigenwerte (später Eigenfrequenzen) wird die relative Differenz ermittelt; und zwar jeweils nach einer festgelegten Anzahl von Lanczos-Iterationen. Unterschreitet nun der berechnete Fortschrittswert die eingegebene Schwelle, wird Konvergenz angenommen und Phase I beendet. Da es erfahrungsgemäß auch nach vielen Iterationen zu Veränderungen kommen kann, empfiehlt es sich, den Wert sehr klein zu wählen, um nicht zu früh abzubrechen. Ein Wert von 1e-8 hat sich gut bewährt.
3. Kappa: Dieser Wert legt fest, nach welcher festen Anzahl von Lanczos-Iterationen eine Eigenwertapproximation ausgeführt werden soll. Wird beispielsweise der Standardwert 50 verwendet, erfolgt eine Approximation nur nach jeweils 50 Iterationen. Alle 49 Zwischenschritte werden im Interesse kürzerer Rechenzeit ohne die aufwändige Prüfung des Abbruchkriteriums ausgeführt, auch wenn die Konvergenz eventuell schon erreicht ist. Eine Vergrößerung des Wertes führt gleichzeitig zu einem strengeren Abbruchkriterium, umgekehrt schwächt ein kleiner Wert dessen Aussagekraft ab.

Resümee:

• Die maximale Anzahl von (I)terationen wird trotz unterschiedlicher (R)esiduen-Werte nicht ausgeschöpft (exakt gleiche Eigenfrequenzen mit R=1e-8 → I=7050 bis R=1e-15 → I=7200).
• Mit Z88Aurora sind mit dem vorliegenden FE-Netz demzufolge keine "besseren" Ergebnisse möglich.
• Ursache für die Abweichungen zur Lösung im Autodesk Fusion ist wahrscheinlich die etwas andere Vernetzung insbesondere im Bereich des Loches.

Fragen: Die von Z88Aurora berechneten Eigenfrequenzen unter 20 kHz sind mit den mittels Autodesk Fusion berechneten Frequenzen ins Verhältnis zu setzen. Um wie viele Prozent weichen die berechneten Eigenfrequenzen jeweils voneinander ab?

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