Grundlagen: Optimierungsverfahren

Autor: Dr.-Ing. Alfred Kamusella

Globale Suchverfahren

Zielstellung

Die Zielstellung für globale Suchverfahren der Optimierung besteht darin, innerhalb eines vorgegebenen Suchraums den absoluten Extremwert (das globale Optimum) zu finden. Bei der Anwendung innerhalb eines Entwurfsprozesses entspricht dies der absolut besten Lösung. D.h., es existiert keine Lösung, welche der idealen Lösung näher kommt:

• Leider gibt es keine mathematischen oder numerischen Methoden, welche für Suchräume mit mehr als 2-3 Entwurfsparametern das Finden der absolut besten Lösung garantieren können. Findet man einen Extremwert auf Gütefunktion, so weiß man praktisch nie, ob es nicht doch noch eine bessere Lösung gibt.
• Deshalb setzt man globale Suchverfahren innerhalb von Entwurfsprozessen meist "nur" zu Analysezwecken ein. Man verschafft sich damit einen "Überblick" über die Zielfunktion im einen zuvor definierten Suchraum:
  • Innerhalb des Suchraums wird die Oberfläche der Zielfunktion in Form einzelner Abtastpunkte berechnet.
  • Man sollte versuchen, daraus die Eigenschaften der Zielfunktion zu erkennen:
    1. Vorhandensein lokaler Optima, Unstetigkeitsstellen,
    2. mögliche Position des globalen Optimums,
    3. sinnvolle Veränderung der Suchraums (Grenzen der Entwurfsparameter verschieben, erweitern oder einengen).
    4. sinnvolle Positionen von Startpunkten für lokale Suchverfahren.
• Ziel dieser Analyse ist das Ermitteln geeigneter Startpunkte für lokale Suchverfahren in einem sinnvoll definierten Suchraum.

Bei der globalen Analyse der Zielfunktion hat man mit diversen Problemen zu kämpfen:

• Der menschliche Blick auf mehrdimensionale Räume sehr eingeschränkt. So versagt bei mehr als 2 Entwurfsparametern recht schnell unsere Vorstellung.
• Man kann immer nur endlich viele ausgewählte Punkte des Suchraums berechnen und muss die Zielfunktion dann hinein interpolieren. Sind die Abstände zwischen den Punkten zu groß, gehen die Details dazwischen natürlich verloren.

Systematische Suche (Rastersuche)

Die N Achsen der Entwurfsparameter werden innerhalb des Suchraums in gleichmäßige Abstände geteilt. Die Schnittpunkte der Rasterlinien definieren die Abtastpunkte auf der Oberfläche der Zielfunktion.

In der statistischen Versuchsplanung (design of experiments = DoE) ist dieses Verfahren auch als vollständiger Versuchsplan (full factorial design) bekannt:

• Im obigen Beispiel wurde für einen Elektromagneten die Zykluszeit in Abhängigkeit vom Ankerdurchmesser und der Rückholfeder untersucht.
• Das Verfahren der Rastersuche wird meist als Analyse-Werkzeug für die Eigenschaften einer Zielfunktion benutzt, um die Grundlage für den Einsatz lokaler Suchverfahren zu schaffen.
• Verfügt man über ein hinreichend schnell rechnendes Modell in einem kleinen Suchraum, kann man mit der Rastersuche natürlich auch iterativ recht schnell das mögliche Gebiet des globalen Optimums eingrenzen und dort sogar die exakte Position der bestmöglichen Lösung ermitteln:
  • Voraussetzung ist eine Zielfunktion,welche in großen Bereichen monoton ist und Optima in ausgeprägten breiten Tälern aufweist.
  • Unter dieser Voraussetzung gilt dann unabhängig von der Anzahl der Entwurfsparameter, dass man wahrscheinlich ein Optimum umschlossen hat, wenn der beste Abtastwert kein Randpunkt ist.
• In obigem Beispiel müsste man den Suchraum zu höheren Federkonstanten verschieben, um das globale Optimum zu umfassen.

Im obigen Diagramm wird nur die Gütefunktion "Zykluszeit" dargestellt, welche möglichst klein werden soll:

• Bei der Suche nach dem globalen Optimum muss man berücksichtigen, dass sich im abgetasteten Suchraum nur zulässige Lösungen befinden, wo keine Restriktionen für den Magnetantrieb verletzt werden (Wert der anhand der Restriktionen gebildeten Straf-Funktion = 0).
• Damit existiert zusätzlich zu den Werten der Gütefunktion für jeden Abtastpunkt mit dem Wert der Straf-Funtion eine Information, ob die für das Modell definierten Restriktionen eingehalten werden (ja/nein bzw. Grad der Verletzungsgrad).
• Der betrachtete Magnetantrieb soll mindestens eine Zykluszeit von 3,4 ms erreichen und seinen Bewegungsvorgang komplett ausführen:
  

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Vorläufige weitere Gliederung:

Globale Suchverfahren

• :
• Abtastung der Monte-Carlo-Suche

Lokale Suchverfahren

• Prinzip und Einsatzbereich
• Abtastung und Schrittweitenregelung (am Beispiel "Hooke-Jeeves-Verfahren")

Optimierung nach biologischem Vorbild

• Einführung
• Genetische Algorithmen und Evolutionsstrategie
• Grundlagen zur Evolutionsstrategie
  • Genotyp und Phänotyp
  • Das Evolutionsfenster
  • Evolution der Evolutionsstrategie
  • Anwendungsbereiche und Grenzen
• Konfiguration von Evolutionsstrategien
  • Notation (Basisalgorithmus)
  • Notation (Rekombination)
  • Optimale Eltern-Anzahl
  • Optimale Kinder-Anzahl
  • Überleben der Eltern
  • Rekombinationstypen
  • Mutationsschrittweite
• Co-Evolutionäre Strategien
  • Mehrkriterienoptimierung
  • Co-Existenz in Ökosystemen
  • Co-Evolutionäre Algorithmen